基本點列

設{xn}是度量空間(R,ρ)中的點列，如果對任意ε>0，存在N(ε)>0，使得當n,m>N(ε)時，恆有 ρ(xn,xm)<ε，則{xn}稱為R中的基本點列或柯西點列。

基本介紹

• 中文名：基本點列
• 外文名：fundamental sequence of points
• 適用範圍：數理科學

簡介

設{x_n}是度量空間(R,ρ)中的點列，如果對任意ε>0，存在N(ε)>0，使得當n,m>N(ε)時，恆有 ρ(x_n,x_m)<ε，則{x_n}稱為R中的基本點列或柯西點列。

推廣

若度量空間R中的每個基本點列都收斂（即在R中有極限），則稱R是完備度量空間。

設(R,ρ)，(R₁,ρ₁)是兩個度量空間，如果存在由R到R₁上的映射T，使得對一切x,y∈R，有ρ(Tx,Ty)=ρ(x,y)成立，則稱T是R到R₁上的等距映射，並稱R與R₁等距同構。

對於度量空間R，如果有完備的度量空間R，使R等距同構於R₁的一個稠密子空間，則稱R₁是R的完備化空間。任何度量空間都必存在完備化空間，且若除去等距同構不計外，完備化空間是惟一的。1906年,弗雷歇(Frechet,M.-R.)在引進度量空間後，又運用柯西收斂準則提出了度量空間的完備化。

度量空間

度量空間(Metric Space)，在數學中是指一個集合，並且該集合中的任意元素之間的距離是可定義的，亦稱距離空間。一類特殊的拓撲空間。弗雷歇(Fréchet，M.-R.)將歐幾里得空間的距離概念抽象化，於1906年定義了度量空間。

在度量空間中，緊性、可數緊性、序列緊性、子集緊性是一致的。可分性、遺傳可分性、第二可數性、林德勒夫性是一致的。度量空間必滿足第一可數公理，是豪斯多夫空間，完全正規空間，仿緊空間。偽度量空間滿足第一可數公理，但一般不是豪斯多夫空間。