基於Galerkin有限元的保結構算法研究

《基於Galerkin有限元的保結構算法研究》是依託長沙理工大學，由唐文生擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：基於Galerkin有限元的保結構算法研究
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：唐文生
• 依託單位：長沙理工大學

項目摘要

保結構算法和有限元法是由我國著名數學家馮康院士獨立於西方開創的兩個重要的計算數學方向，是當前國內外微分方程數值解研究領域的熱點。本項目以帶幾何結構的哈密頓常微和哈密頓偏微分方程為研究對象，以提出和發展高保真的數值算法及相關理論為目標，主要研究以下問題：（1）運用Galerkin有限元構造保結構算法，提出和發展保結構算法新的構造理論；（2）給出所構造算法的收斂性分析、穩定性分析及向後誤差分析，通過向後誤差分析闡明所構造算法在長時間數值計算中保持其它不變數的算法機理；（3）建立所構造算法的實現與高效計算的理論。本項目的順利完成在理論方面可以進一步推進保結構算法的發展，在套用方面則可以為帶有幾何結構的微分方程的數值求解提供新的方法和思路。

結題摘要

保結構算法和有限元法是由我國著名數學家馮康院士獨立於西方開創的兩個重要的計算數學方向，是當前國內外微分方程數值解研究領域的熱點。本項目致力於兩者的結合性研究，以帶幾何結構的哈密頓常微和哈密頓偏微分方程為研究對象，以提出和發展高保真的數值算法及相關理論為目標，主要研究以下內容：運用Galerkin有限元構造保結構算法，提出和發展保結構算法新的構造理論；給出所構造算法的收斂性分析、穩定性分析及向後誤差分析；建立所構造算法的實現與高效計算的理論等。 在項目的資助下，我們主要獲得了以下重要結果：基於Legendre正交多項式展開技巧，首次提出了連續級算法理論框架，並在該框架下系統研究並發展了連續級（分塊）Runge-Kutta法、連續級Runge-Kutta-Nystrom法、保持幾何結構的Galerkin有限元方法等算法的一般性構造理論，並完成了算法的相關數值分析。對於求解著名的哈密頓力學問題，我們結合辛幾何觀點，證明了一系列新型算法保辛或多辛的充分條件，構造了豐富的能夠精確保持哈密頓辛結構的連續級及Galerkin幾何算法，我們首次提出並發展了通過選取不同的數值通量來達到保持幾何結構的數值目標的思想和方法。數值實驗表明，我們所構造的幾何算法在長時間模擬動力系統的動力行為、誤差積累、軌道模擬及數值穩定性方面，相比於非保結構的傳統算法，具有明顯的壓倒性優勢。 我們於國內外率先採用並建立了連續級算法框架，結合了正交多項式展開技巧及數值積分理論，以一種更易於操作的方式來建立高階精度的幾何算法。與傳統的利用階條件來建立並求解繁瑣的非線性代數方程的構造思路相比，我們的方法更容易掌握和操作。在連續級算法理論框架之下，一些保幾何結構的Galerkin有限元方法等價於特殊的具有超收斂階的連續級（分塊）Runge-Kutta法。連續級算法理論為Galerkin算法的數值分析開闢了一條新的研究途徑，反過來，Galerkin方法也為保結構算法的構造提供了新的構造思路。