《圖的特徵值與其它參數之間關係的研究》是依託上海大學，由袁西英擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：圖的特徵值與其它參數之間關係的研究
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：袁西英
- 依託單位：上海大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
圖的特徵值理論的一個重要方向是圖的特徵值與圖的其它參數之間關係的研究，因為它將圖的代數性質與其拓撲性質緊密結合在一起。本項目擬以直徑和最大度為主線，對圖的鄰接矩陣和拉普拉斯矩陣的特徵值開展一系列研究。研究內容主要包括：刻畫點數和直徑固定的圖類中鄰接譜半徑達到極小的圖；依據直徑對樹分類，推進樹按代數連通度的大小進行排序的工作；探尋鄰接譜半徑、拉普拉斯譜半徑與最大度之間的度量關係等。這些問題具有重要的理論意義（有多個相關猜想或公開問題相繼提出），同時在網路設計理論中也有一定的套用價值。我們擬綜合運用矩陣分析、特徵多項式比較、特徵向量的分量分析以及特徵值的漸近（極限點）理論等代數工具，同時對圖的結構進行分析，結合使用圖的各種擾動技巧來研究上述問題。採用理論推導和計算機驗證相結合的方案開展相關研究，力爭在研究結果和理論方法上都有新的突破。
結題摘要
本項目旨在以圖的特徵值與圖的其它參數之間關係的研究為線索, 研究當前圖譜領域的熱點問題. 我們重點在以下三個方面開展了研究. (1). 圖的拉普拉斯譜半徑與圖的（邊）連通度、匹配數的關係的研究. 刻畫了具有固定點數和連通度、邊連通度的二部圖中取得極大拉普拉斯譜半徑的圖; 研究了具有完美匹配的n階樹的第k個拉普拉斯特徵值, 所得結論回答了相關公開問題的k=2, k=3的情形. (2). 開展了極值譜理論問題的研究, 提出了長路、奇(或偶)圈存在性的(無符號拉普拉斯)譜半徑條件, 所得結果將經典的極值圖論中路、圈存在性定理推廣到了特徵值問題上； 解決了著名圖譜研究專家 Nikiforov 教授的兩個相關猜想, 其中所提出的路存在性的最小度條件（穩定性定理）具有廣泛的套用價值. (3). 開展了圖的特徵值的Nordhaus–Gaddum 型問題研究. 研究了圖的第k個特徵值的Nordhaus–Gaddum 型問題, 還考慮了與此相關的能量的Nordhaus–Gaddum 型問題.
