《邊改變對圖的能量影響和有向圖的能量問題》是依託浙江師範大學，由田貴賢擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：邊改變對圖的能量影響和有向圖的能量問題
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：田貴賢
- 依託單位：浙江師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
圖的能量是指圖的鄰接矩陣的特徵值的絕對值之和，它是當前圖譜理論研究中發展迅速的熱門課題之一。本項目擬結合圖論、圖的譜理論和矩陣的數值特徵理論對邊的改變對圖的能量影響和有向圖的能量問題進行較為深入系統的研究。給出邊的刪除或增加使得圖的能量增加、減少和不變的充分條件，特別利用邊的改變使得圖的能量不變的充分條件構造出一到兩對等能量的非同譜圖；給出有向圖的能量和skew-能量的上下界的有效估計式，以及它們與其相應的底圖的能量之間的關係。
結題摘要
圖的能量是當前圖譜理論研究中發展迅速的熱門課題之一。本項目對有向圖的能量的界估計、有向圖的skew-能量和邊改變對圖的能量影響以及相關問題做了較為深入系統的研究，得到的結果如下：（1）得到了有向圖的能量的兩個新上界並刻畫了達到這些上界的臨界圖。理論分析表明這些結果改進和推廣了部分已知的結果；（2）利用有向圖的運算，構造出了幾類有向圖，它們中的每一個都滿足有向圖的skew-能量等於其底圖的能量。部分回答了Adiga等人在《Linear Algebra Appl.》上提出的一個公開問題；（3）研究了邊刪除與一些特殊圖的無符號Laplacian能量之間的關係。給出了邊刪除後圖的無符號Laplacian能量不變的一個條件。證明了刪除一條邊後圖的無符號Laplacian能量與原圖的無符號Laplacian能量的差值不大於4；（4）得到了刪除一條邊圖的無符號Laplacian特徵值的冪和增加和減少的條件；同時， 也給出了圖的無符號Laplacian特徵值的冪和估計式並刻畫了達到這些界的臨界圖。利用所得結果給出了圖的關聯能量界估計式，理論分析和實例表明這些結果改進了部分已知的結果；（5）給出了帶有參數α的圖的（Laplacian）譜半徑的一些上下界估計式並刻畫了達到這些界的臨界圖，理論上改進和推廣了部分已知的結果。同時，也指出利用所得結果可以得到更好的圖的能量和圖的Laplacian特徵值冪和估計式；（6）由於圖的能量與圖的譜、矩陣的奇異值有著密切的聯繫。本項目也研究了冠圖和邊冠圖的（無符號Laplacian）譜與其原圖之間的關係，刻畫了如何由原圖的（無符號Laplacian）譜來計算出冠圖和邊冠圖的（無符號Laplacian）譜。同時，也構造出了一些非同構的無符號Laplacian同譜圖。
