基本介紹
- 中文名：圖形鑲嵌
- 學科：數學
- 性質：名詞
- 特點：利用鑲嵌
有關論文
關於圖形鑲嵌的研究論文
姓名：徐浩凡 學校：北京市十一學校 班級：初一三班
2007年5月17日星期四
關鍵字：完全覆蓋、平面鑲嵌、數學的角度
引言：數學是無處不在的，生活中我們常常會遇到一些有關數學的問題，在用瓷磚鋪成的地面或牆面上，相鄰的地磚或瓷磚平整地貼合在一起，整個地面或牆面沒有一點空隙。這些形狀的地磚或瓷磚為什麼能鋪滿地面而不留一點空隙呢？換一些其他的形狀行不行？為了解決這些問題，我們得探究一下其中的道理。從數學的角度看，用不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋；通常把這類問題叫做用多邊形的平面鑲嵌。
內容：我們得探究一下圖形鑲嵌中在日常生活中的道理，研究一下多邊形的有關概念，性質。
……
由此，我們得出了:n邊形，可以分成（n-2）個三角形，內角和是（n-2）*180度，一個內角的度數是（n-2）*180÷n度，外角和是360度。若（n-2）*180÷n能整除360，那么就能用它來鋪滿地面，若不能，則不能用其鋪滿地面。
我們不但可以用一種正多邊形鋪滿地面，我們還可以用兩種、三種等更多的圖形組合起來鋪滿地面。
現實生活中，我們已經看到了用正多邊形拼成的各種圖案，實際上，有許多圖案往往是用不規則的基本圖形拼成的。以上，我們採用了生活中的實例，地磚來證明了圖形鑲嵌的奇妙，下面，我再講一個版畫家對圖形鑲嵌的興趣：埃舍爾被每種鑲嵌圖形迷住了，不論是常規的還是不規則的; 並且對一種他稱為變形的形狀特別感興趣，這其中的圖形相互變化影響，並且有時突破平面的自由。他的興趣是從1936年開始的，那年他旅行到了西班牙並且在Alhambra看到了當地使用的瓦的圖案。他花了好幾天勾畫這些瓦面，過後宣稱這些 "是我所遇到的最豐富的靈感資源"，1957年他寫了一篇關於鑲嵌圖形的文章，其中評論道："在數學領域，規則的平面分割已從理論上研究過了. . . ，難道這意味著它只是一個嚴格的數學的問題嗎？按照我的意見, 它不是。數學家們打開了通向一個廣闊領域的大門，但是他們自己卻從未進入該領域。從他們的天性來看他們更感興趣的是打開這扇門的方式，而不是門後面的花園。埃舍爾在他的鑲嵌圖形中利用了這些基本的圖案，他用幾何學中的反射、平滑反射、變換和旋轉來獲得更多的變化圖案。他也精心地使這些基本圖案扭曲變形為動物、鳥和其他的形狀。這些改變不得不通過三次、四次甚至六次的對稱以便得到鑲嵌圖形。這樣做的效果既是驚人的，又是美麗的。這裡還有一些關於埃舍爾德圖形鑲嵌的圖片。
怎么樣，這些用鑲嵌得來的形狀是不是很美啊，讓我們更好的學習圖形的鑲嵌，在數學與藝術中徜徉吧！
論文
所謂圖形鑲嵌就是用一種或幾種同樣大小的圖形來鋪平面，要求圖形之間即不要留空隙有不能彼此重疊。在這方面，埃舍爾取得了突出的成就，比如下面幾幅圖就是他的傑作。
下面我就來介紹圖形的鑲嵌。
規則的平面分割叫做鑲嵌，鑲嵌圖形是完全沒有重疊並且沒有空隙的封閉圖形的排列。一般來說, 構成一個鑲嵌圖形的基本單元是多邊形或類似的常規形狀, 例如經常在地板上使用的方瓦。然而, 埃舍爾被每種鑲嵌圖形迷住了，不論是常規的還是不規則的; 並且對一種他稱為metamorphoses（變形）的形狀特別感興趣，這其中的圖形相互變化影響，並且有時突破平面的自由。
無論這對數學家是否公平, 有一點是真實的--他們指出了在所有的常規的多邊形中，僅僅三角形，正方形，和正六邊形能被用於鑲嵌。但許多其他不規則多邊形平鋪後也能形成鑲嵌，例如有許多鑲嵌就使用了不規則的五角星形狀。埃舍爾在他的鑲嵌圖形中利用了這些基本的圖案，他用幾何學中的反射、平滑反射、變換和旋轉來獲得更多的變化圖案。他也精心地使這些基本圖案扭曲變形為動物、鳥和其他的形狀。這些改變不得不通過三次、四次甚至六次的對稱以便得到鑲嵌圖形。這樣做的效果既是驚人的，又是美麗的。
圖形的鑲嵌——平面正多邊形鑲嵌
如果用不同邊數的正多邊形鑲嵌，同樣要滿足兩點：一是邊長相等，二是一個頂點處的內角之和為360°
（ 為正整數， 為不小於3的整數）
∴
∴
∴
∴
∴ ……（*）
∵ 為正整數， 為不小於3的整數 ∴
∴ 使（*）式成立的條件是：
∴
用正多邊形鑲嵌的規律
用三個正多邊形來排列
最小的邊數: 3
排列: (3,7,42) (3,8,24) (3,9,18) (3,10,15) (3,12,12)
最小的邊數: 4
排列: (4,5,20) (4,6,12) (4,8,8)
最小的邊數: 5
排列: (5,5,10)
最小的邊數: 6
排列: (6,6,6)
用四個正多邊形來排列
最小邊數: 3
3，3，4，12的組合結果導致了兩種截然不同的排列
3，3，6，6的組合結果導致了兩種截然不同的組合
3，4，4，6的組合結果導致了兩種截然不同的組合
排列: (3,3,4,12), (3,4,3,12) --- (3,3,6,6), (3,6,3,6) --- (3,4,4,6), (3,4,6,4)
最小的邊數: 4
排列: (4,4,4,4)
用五個正多邊形來排列
最小邊數: 3
3，3，3，3，6的組合只能產生一種排列
3，3，3，4，4的組合產生兩種截然不同的組合
排列: (3,3,3,3,6) --- (3,3,3,4,4), (3,3,4,3,4)
用六個正多邊形排列
最小的邊數: 3
排列: (3,3,3,3,3,3)
要注意：上面的圖顯示了圍繞一個點填充成一個360°的角，用正多邊形來排列的話，有21種排法，但事實上他們只有17種不同的組合。其中有四種組合各自有兩種不同的排列。
使用正多邊形鑲嵌的分類；
鑲嵌的分類：
（1） 正多邊形的鑲嵌
（I） 正則鑲嵌
（II） 半正則鑲嵌
（III） 非正則鑲嵌
（2） 非正多邊形的鑲嵌
定義：只使用一種正多邊形的鑲嵌我們叫正則鑲嵌（Regular Tessellations ）
有前面的討論我們知道：正則鑲嵌只有3種：即用正三角形、正方形和正六邊形來鑲嵌。
如下圖：
使用一種以上的正多邊形來鑲嵌，並且在每個頂點處都有相同的正多邊形的排列，我們叫半正則鑲嵌（Semiregular Tessellations）
如下圖：
還有一些鑲嵌包含著正則鑲嵌，我們稱這種鑲嵌為：非正則鑲嵌（demiregular tessellations），這些鑲嵌是正則鑲嵌或半正則鑲嵌的混合鑲嵌
例如：下圖中，在點1處是3，6，3，6的排列，而在點2處是3，3，6，6的排列，在這個鑲嵌中在每一個頂點處的正多邊形排列不完全相同，而是存在著兩種排列，因此即不是正則鑲嵌也不是半正則鑲嵌，我們稱之為非正則鑲嵌。
在點1處是3，6，3，6的排列，而在點2處是3，3，6，6的排列
同樣，我們仍然使用正則鑲嵌或半正則鑲嵌的排列來表示這種新的非正則鑲嵌的類型，我們在每個正則或半正則鑲嵌的排列之間使用符號“/”來分隔開，例如，上圖的鑲嵌記作：3.6.3.6 / 3.3.6.6.
數學家已經定義那些由兩個或三個不同的正則鑲嵌的排列而構成的鑲嵌為非正則鑲嵌，至少有14種非正則鑲嵌，這是怎么確定的呢？事實上只要我們花一點耐心，使用已知的21種（見前面的介紹）正則或半正則排列來實驗，我們就可以得到上述結論。
下面我們來具體看一看這些非正則鑲嵌的圖案有哪些
由兩個或三個不同的正則排列的正多邊形鑲嵌
下面是使用兩種不同的正則排列（9種不同的鑲嵌）
3.3.6.6 / 3.6.3.6
3.12.12 / 3.4.3.12
3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.12
3.3.3.4.4 / 3.4.6.4
3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.3.4 #1
3.3.3.3.3.3 / 3.3.4.3.4 #2
注意：儘管上面的兩種鑲嵌使用的是相同的正則排列，但他們還是從整體構成上有所不同
足球表面由什麼圖形拼接而成? 足球的表面是由12個正五邊形和20個正六邊形構成
不一樣，為了銜接成的一個球體
地板的鑲嵌
其實，生活中人們更多的是研究有關鋪地板磚的問題，我們觀察各種建築物的地板，就能發現地板常用各種正多邊形鑲嵌成美麗的圖案。我們觀察各種建築物的地板，就能發現地板常用各種正多邊形鑲嵌成美麗的圖案．
平時在家裡、在商店裡、在中心廣場、進入賓館、飯店等等許多地方都會看到瓷磚。他們通常都是有不同的形狀和顏色。其實，這裡面就有數學問題，“瓷磚中的數學”。
在用瓷磚鋪成的地面或牆面上，相鄰的地磚或瓷磚平整地貼合在一起，整個地面或牆面沒有一點空隙。這些形狀的地磚或瓷磚為什麼能鋪滿地面而不留一點空隙呢？換一些其他的形狀行不行？為了解決這些問題，我們得探究一下其中的道理，研究一下多邊形的有關概念，性質。
例如，三角形。三角形是由三條不在同一條直線上的線段首尾順次連結組成的平面圖形。通過實驗和研究，我們知道，三角形的內角和是180度，外角和是360度。用6個正三角形就可以鋪滿地面。
再來看正四邊形，它可以分成2個三角形，內角和是360度，一個內角的度數是90度，外角和是360度。用4個正四邊形就可以鋪滿地面。
正五邊形呢？它可以分成3個三角形，內角和是540度，一個內角的度數是108度，外角和是360度。它不能鋪滿地面。
六邊形，它可以分成4個三角形，內角和是720度，一個內角的度數是120度，外角和是360度。用3個正六邊形就可以鋪滿地面。
七邊形，它可以分成5個三角形，內角和是900度，一個內角的度數是900/7度，外角和是360度。它不能鋪滿地面。
……
由此，我們得出了。n邊形，可以分成（n-2）個三角形，內角和是（n-2）*180度，一個內角的度數是（n-2）*180÷2度，外角和是360度。若（n-2）*180÷2能整除360，那么就能用它來鋪滿地面，若不能，則不能用其鋪滿地面。
我們不但可以用一種正多邊形鋪滿地面，我們還可以用兩種、三種等更多的圖形組合起來鋪滿地面。
例如：正三角形和正方形、正三角形和六方形、正方形和正八邊形、正五邊形和正八邊形、正三角形和正方形和正六邊形……
現實生活中，我們已經看到了用正多邊形拼成的各種圖案，實際上，有許多圖案往往是用不規則的基本圖形拼成的。
瓷磚，這樣一種平常的東西里都存在了這么有趣的數學奧秘，更何況生活中的其它呢？
生活中，數學無處不在。
一、用一種正多邊形鋪地板的情況：3種
（3，3，3，3，3，3）拼地板圖案
（4，4，4，4）拼地板圖案 （6，6，6）拼地板圖案
二、用兩種正多邊形鋪地板的情況：6種
（3，12，12）拼地板圖案
三、用三種正多邊形鋪地板的情況：8種
如果用兩種不同邊數的正多邊形鑲嵌，同樣，必須在重合的頂點處，正多邊形的內角之和為360°．為了簡化研究，我們來看一看用兩個具體的多邊形來鋪地板的情況。
問題一：現在一位工人師傅手中有正三角形和正方形兩種正多邊形瓷磚，你能幫助他設計一種地板圖案嗎？
同學們請你們自己動手用硬紙板剪出邊長相等的多個大小相同的的正三角形和正方形，然後試著動手拼一拼，相信你們一定能拼出來。
你們拼出下面的圖形來了嗎？
問題2
若這位工人師傅手中只有正六邊形和正三角形的瓷磚用來拼地板，能否實現？若有，有幾種情況；若沒有，說明理由
思考，你們能否利用方程計算而不是動手拼圖來研究上述問題嗎？
事實上，我們可以如下計算
設在一個點處有正三角形x個、有正六邊形y個則
60x+120y=360
x+2y=6
有兩組整數解
因此應該有三種方案
如圖
問題三：若這位工人師傅手中只有用正方形和正六邊形能否拼地板！這個問題請讀者自己思考
（2）如果用多餘兩種的正多邊形來鋪地板，情況如何？
我們來回答以上問題．
假定m種正多邊形，邊數分別為 ， ， ，……， ，能鑲嵌成整個平面，
必須：
∵ ， ， ，……，
∴
∴
所以，
就是說，最多有六個正多邊形的組合。
