正八邊形

八條長度相等的線段圍成的圖形，每個內角都是135°，首尾相連構成的一個封閉形狀的平面圖形叫正八邊形。正八邊形每個角大小都相等，每條邊長度相等。正八邊形的內角和為1080度，每個內角是135度，每個外角是45度。

基本介紹

• 中文名：正八邊形
• 外文名：regular octagon
• 內角：135°
• 外角：45°
• 內角和：1080°
• 外角和：360°
• 中心角：45°

面積

1、由中點向各頂點連線得到8個等腰三角形，設八邊形最長對角線為2a，則等腰三角形腰長a，用正弦定理計算三角形的面積。得1/2*a*a*sin(360/8)=1/2*a^2*sin45，所以正八邊形的面積為4*a*a*sin45。

2、設正八邊形內最長對角線長為a，最短對角線長為b，則正八邊形面積面積為ab。

3、已知邊長為a時，又有：S=(2+2√2)a²≈4.828a²。

推導：正八邊形可以分割成四個小三角形，四個小長方形以及中央部分的一個正方形。四個小三角形的面積和為：(√2/2a)*(√2/2a)*1/2*4=a²，四個小長方形面積之和為：(√2/2a)*a*4=(2√2)*a²，中間的正方形面積為a²，所以正八邊形面積公式為：a²+（2√2）*a²+a²=（2+2√2）*a²

4、已知中心到各點的長（外接圓半徑）為R，則正八邊形面積為2√2R²。

周長

邊長長度乘以8，即可。

尺規作圖

用直尺和圓規畫正八邊形的方法如下：

1. 做正方形ABCD，並做正方形外接圓O.
2. 過圓心O向任意一邊(設為AB)作垂線並延長，延長線交圓弧於E、F.
3. 以AE、DE為半徑畫弧，得到與圓O的交點，分別為G、H.
4. 連線EAGBFCHD.
5. 擦除其他對象，即得正八邊形EAGBFCHD.