圓的一般方程

圓的一般方程，是數學領域的知識。圓的一般方程為 x²+y²+Dx+Ey+F=0 (D²+E²-4F>0)，或可以表示為(X+D/2)²+(Y+E/2)²=(D²+E²-4F)/4

基本介紹

• 中文名：圓的一般方程
• 外文名：circle's general form equations 
• 範疇：數學概念
• 所屬數學分支：解析幾何
• 方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0

簡介

圓是最常見的、最簡單的一種二次曲線。

定義

在平面上到一定點(中心)有同一距離(半徑)之點的軌跡叫做圓周，簡稱圓。

標準方程

圓半徑的長度定出圓周的大小，圓心的位置確定圓在平面上的位置。如果已知：(1)圓半徑長R；(2)中心A的坐標(a,b)，則圓的大小及其在平面上關於坐標軸的位置就已確定(如右圖)。根據圖形的幾何尺寸與坐標的聯繫可以得出圓的標準方程。結論如下：

當圓的中心A與原點重合時，即原點為中心時，即a=b=0，圓的方程為：

圓的一般方程

圓的標準方程是一個關於x和y的二次方程，將它展開並按x、y的降冪排列，得：

設D=-2a，E=-2b，F=a²+b²-R²；則方程變成：

任意一個圓的方程都可寫成上述形式。把它和下述的一般形式的二元二次方程比較，可以看出它有這樣的特點：(1)x²項和y²項的係數相等且不為0(在這裡為1)；(2)沒有xy的乘積項。

推導過程

由圓的標準方程的左邊展開，整理得，在這個方程中，如果令，則這個方程可以表示成。

推論

可以證明，形如一般表示一個圓。

為此，將一般方程配方，得：

為此與標準方程比較，可斷定：

(1)當D²+E²-4F>0時，一般方程表示一個以為圓心，為半徑的圓。

(2)當D²+E²-4F=0時，一般方程僅表示一個點，叫做點圓(半徑為零的圓)。

(3)當D²+E²-4F<0肘，沒有一個點的坐標滿足圓的一般方程，即一般方程不表示任何圖形，叫做虛圓。

圓的標準方程的優點在於它明確地指出了圓心和半徑，而一般方程突出了方程式上的特點，便於區分曲線的形狀。

舉例

求方程的軌跡。

解：這個方程的x²和y²項的係數都是1，並且沒有xy項，它與圓的方程有相同的形式．我們把它配方，得：

即：

由此可知，原方程的軌跡是一個以點(1，-2)為圓心，4為半徑的圓。