阿波羅尼圓

平面內到兩個定點的距離之比為常數k（k≠1）的點的軌跡是圓，這個圓就是阿波羅尼(Apollonius of Perga, 262BC-190BC)圓。

基本介紹

• 中文名：阿波羅尼圓
• 外文名：Apollonius of Perga, 262BC-190BC
• 類型：數學定律
• 內容：圓

阿波羅尼奧斯問題

阿波羅尼奧斯問題是由公元前3世紀下半葉古希臘數學家阿波羅尼奧斯提出的幾何作圖問題，載於他的《論接觸》中，可惜原書已經失傳。後來公元4 世紀學者帕波斯的著作中記載了其中所提出的一個作圖問題：設有3個圖形，可以是點、直線或圓，求作一圓通過所給的點（如果3個圖形中包含點的話）並與所給直線或圓相切。當中共有10 種可能情形，其中最著名的是：求作一圓與3個已知圓相切，常稱為阿波羅尼奧斯問題（ Apollonius'problem）。據說阿波羅尼奧斯本人解決了問題，可惜結果並沒有流傳下來。

1600年法國數學家韋達在一篇論著中套用了兩個圓相似中心的歐幾里得解法，通過對每一種特殊情況的討論，嚴格陳述了該問題的解。後來牛頓、蒙日、高斯等許多數學家都對這一問題進行過研究，得到多種解決方法。 其中以法國數學家熱爾崗約於1813年給出的解法較有代表性。以上所說都是通常的標尺作圖法。如果放寬作圖條件限制，則有多種簡捷的解法。

證明方法

解析幾何證明方法

已知：定點M（c,0），N（-c,0），P（x，y）

求證：平面內到兩個定點M，N的距離之比為常數k（k≠1）的點P的軌跡是圓

證明：d1=√[（x-c）²+y²] d2=√[（x+c）²+y²]

d1/d2=√[（x-c）²+y²]/√[（x+c）²+y²]=k

通分後化簡得(k²-1)x²+(k²-1)y²+2c(k²+1)x+(k²-1)c²=0

約分 x²+y²+2c(k²+1)/(k²-1)x+c²=0

此形式為圓的一般方程。

證明畢

平面幾何證明方法

證明見圖。

證明