《圓周上非自治反應擴散方程的動力學》是依託南京理工大學，由周盾擔任項目負責人的青年科學基金項目。
基本介紹
- 中文名：圓周上非自治反應擴散方程的動力學
- 項目類別：青年科學基金項目
- 項目負責人：周盾
- 依託單位：南京理工大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
本項目研究圓周上非自治特別是幾乎周期驅動反應擴散方程有界解的長時間動力學性態。利用系統所具有的離散李雅普諾夫泛函與不變流形之間的聯繫，並結合叢控制理論以及單調動力系統所特有的性質，採取局部化方法研究系統不變集的拓撲結構。對於非線項具有反射對稱性的特殊情形，對極限集結構做系統深入刻劃。對於圓周上一般情形的幾乎周期驅動反應擴散方程深入研究新幾乎自守現象的存在性以及幾乎周期驅動圓周流的存在性。
結題摘要
本項目主要研究了一維周期邊條標量非自治半線性拋物方程有界解的漸近行為這一拋物方程動力學的經典問題。該問題自治與周期情形下解的漸近行為已有完整清晰的刻畫；對應的分離邊界條件（即；Dirichlet邊條，Neumann邊條）下的非自治情形也於上世紀90年代中後期被國際知名微分方程與動力系統專家沈文仙與易英飛合作解決。而具有周期邊條，多頻驅動下的動力學刻畫卻是停滯不前的。其困難有如下幾點：外部頻率對系統的複雜性產生重要影響；處理非自治系統問題所用的工具要比處理自治與周期系統複雜許多；周期邊界條件下解的漸近行為比分離邊界條件下的情形複雜許多。 本項目利用系統的零點數函式的軌道衰減性，在斜積半流的框架下通過建立起系統不變集上不變流形與線性化系統的不變空間與Floquet理論之間聯繫，結合解的群作用不變性與特殊情形下的反射對稱性將已有周期系統與自治系統的相關結論一般化到幾乎周期系統中，且取得一系列重要進展。本項目給出了該類方程對應的斜積系統的幾類重要不變集拓撲結構的精確刻畫，並發現了新的幾乎自守現象-幾乎自守驅動的圓周流。這些結論和實例揭示出多頻驅動具有比單頻驅動以及時間恆定驅動更為複雜的動力學行為，同時系統不變集結構的複雜性與不變集上對應的中心流形的維數密切相關；某些特定情況下由拋物方程生成的非自治系統中可能存在幾乎周期驅動的圓周流。本項目中，負責人與其合作還研究了高維有界區域上非自治反應擴散方程有界解的漸近行為。並證明了：非線性項滿足一定的凹凸性條件下，任何線性穩定的幾乎自守解都是空間齊次的。這揭示出其線性穩定的解動力學性態是相對簡單的；同時也將P. Hess等人在自治以及周期系統下的結論部分地推廣到了幾乎周期的情形。
