單位分解

在微分幾何學中，單位分解是一種特殊的開覆蓋，指微分流形上的一種開覆蓋。在微分拓撲學中，單位分解是一種連續函式族。在流形上的微積分中，單位分解是流形上的函式集，其和為1。

基本介紹

• 中文名：單位分解
• 外文名：partition of unity
• 適用範圍：數理科學

微分幾何學

在微分幾何學中，單位分解是一種特殊的開覆蓋，指微分流形上的一種開覆蓋。

C^k流形M上的C^k單位分解是M上一族C^k函式{f_i|i∈Z}，它具有以下性質：

1、對M的每一點p，f_i(p)≥0且。

2、函式f_i的支集組成的集族{suppf_i}是M的局部有限的覆蓋，C^k流形M為仿緊時，對於M的任一開覆蓋{U_α}，必存在從屬於{U_α}的C^k單位分解{f_i}，即{f_i}還有下述性質：對每個i，f_i的支集suppf_i是緊緻的，並且有開集U_α使得suppf_i⊂U_α。

這就是單位分解定理，它是流形的局部性質過渡到整體性質的橋樑之一。

微分拓撲學

在微分拓撲學中，單位分解是一種連續函式族。

微分流形上的適合某些良好性質的連續（或可微）函式族。單位分解的存在性是微分拓撲與微分幾何理論中常用的技巧和基本工具之一。

單位分解的方法有廣泛的套用，例如，流形上黎曼度量的存在性、惠特尼嵌入定理及逼近定理。

流形上的微積分

在流形上的微積分中，單位分解是流形上的函式集，其和為1。

Ck流形M上的單位分解是M上Ck函式集{𝜙_i|i∈I}，其中I是一個指標集。

微分流形的仿緊性保證了它具有單位分解的性質。這個性質能把局部函式擴並為整體函式，反過來也能把整體函式分解為局部函式來研究。