命題公式(propositional formula)亦稱合式公式，是數理邏輯術語，它是按照一定規律形成的符號序列，在命題演算中，公式通常用歸納定義給出，例如，在一個具有五個聯結詞ᒣ，∨，∧，→，≡的系統中，合式公式定義如下：1.命題變元和命題常元是公式；2.如果α是公式，則ᒣα也是公式；3.如果α，β是公式，則α∨β，α∧β，α→β，α≡β均為公式；4.只有由1～3條給出的才是公式。因此，根據上述定義，ᒣp，(p→q)∨ᒣp等是公式，而pᒣ，pq→等都不是公式。
基本介紹
- 中文名：命題公式
- 外文名：propositional formula
- 所屬學科：數學（邏輯學）
- 別名：命題合式公式
- 簡介：按照一定規律形成的符號序列
基本介紹,例題解析,相關概念及定理,命題公式的分類,重言式,矛盾式,可滿足式,
基本介紹
命題公式是對由命題變項、聯結間和圓括弧按照一定邏輯關係構成的複合命題的形式化描述。。
定義 命題合式公式，又稱為命題公式(簡稱公式)，可按下列規則生成:
(1)命題變項是命題公式。
(2)如果A是命題公式，則¬A是命題公式。
(3)如果A和B是命題公式，那么(A∧B)、(A∨B)、(A→B)和(A↔B)都是命題公式。
(4)若且唯若有限次地套用(1)，(2)，(3)所得到的包含命題變項，聯結詞和圓括弧的符號串是命題公式。
命題公式的定義是一個遞歸定義形式。命題公式本身不是命題，沒有真值，只有對其命題變項進行賦值後，它才有真值。
5個聯結詞運算兒有不同的優先權。當它們同時出現在一個命題公式里時，聯結間運算的優先次序為¬、∧、∨、→、↔，如果有括弧，則括弧內的運算優先進行。
例題解析
【例1】判定下列式子是否是命題公式。
(1) ((P∧¬Q)→R)
(2) ((P↔¬Q)∧((Q→R)↔(R∨Q)))
(3) ((R∨Q)→P)
(4) ((R，¬Q)→P)
(5) (R∧→Q)
(6) ((P∨Q)→(R↔¬Q))
解根據命題公式的定義可知1，(1)、(2)、(3)是命題公式，而(4)、(5)、(6)不是命題公式。命題公式最外層括弧可以省略。
有了命題公式的定義後,很多複合命題可以符號化為命題公式。
【例2】 “如果提高天然氣占能源的比例，且燒乾淨的煤，那么空氣品質就能提升許多。”用命題公式符號化該命題。
解:設P:提高天然氣古能源的比例; Q:燒乾淨的煤: R：空氣品質就能提升許多。
該命題可符號化為(P∧Q)→R。
相關概念及定理
定義1 設A是一個命題公式，
是出現在A中的所有命題變項。對這些命題變項各賦予一個確定的真值，那這一組真值稱為對命題公式的一種賦值。
對於不同的賦值，命題公式有不同的真值情況。將命題公式在所行的賦值下的真值情況用表格表達出來，這張表就稱為真值表。如果一個命題公式有n個命題變項。每個命題變項有兩種真值情況，則共有2n種不同的賦值情況。為了不遺漏每種賦值情況。1個命題變項的取值一般從00...0到1...1或者從1...1到00...0。
定義2 設A、B是命題公式，是出現在A和B中的所有命題變項，如果對於的任何一組賦值，A的真值和B的真值都相同，則稱公式A等值於公式B(或A與B等值)，記作A
B。
因此，要判斷兩個公式是否等值，根據定義，只需將兩個公式的真值表列出，判斷兩個真值表是否相同即可。
對一個命題公式A，如果用公式B取代A中的一部分，會得到一個新公式C。但是一般來說，公式A和C是不等值的。例如，在公式P∧Q中用P∨¬P取代Q，得到的P∧(P∨¬P)不等值於原來的公式。但如果對取代過程加以某種限制，則得到的新公式會和原來的公式等值。
命題公式中有許多公式是等值的，要記住大量的等值公式是困難的，但一些基本的、重要的等值式模式是應該掌握的。下面列出一些最基本的等值式模式。
比如雙重否定律：¬¬AA，冪等律：A∨AA，A∧AA，還有交換律，結合律，分配律，德.摩根律，吸收律，同一律等。
定義3 設A是一個命題公式，A'是A的一部分,且A'也是一個命題公式，則稱A'是A的子公式。
定理 設A'是A的子公式，B'是一個命題公式且A'B'。將A中的A'用B'來取代，所得到的是一個新公式，記為B，則AB。
命題公式的分類
重言式
給定一個命題公式，若對於其中的命題變項的任何一組賦值，命題公式對應的真值永遠為1，則稱該命題公式為重言式或永真式。
矛盾式
給定一個命題公式，若對於其中的命題變項的任何一組賦值，命題公式對應的真值永遠為0，則稱該命題公式為矛盾式或永假式。
可滿足式
給定一個命題公式，若至少存在一組賦值使得該公式的真值為1，則稱該命題公式為可滿足式。
由定義可知，公式¬(P∧Q)↔¬P∨¬Q是永真式，公式¬(P→Q)∧Q是永假式，永真式的真值總是為1，因而是一種特殊的可滿足式。
