基本介紹
由謂詞填式或命題變元,利用真值函式和量詞所構成的式子叫做謂詞演算公式。
如果謂詞演算公式中,不論用任何特定的命題代入其中的命題變元,不論對什麼個體域,不論用任何特定個體代入其中的個體變元,並且用任一特定的謂詞代入其中的謂詞變元,其結果總是真的(或者假的)則稱這個謂詞演算公式為永真公式(或者永假公式)。渭詞演算永真公式又叫做普遍有效公式。
設
是兩個謂詞演算公式,如果“
”是一個永真公式,則稱
與
等價,記為
。如果“
”是一個永真公式,則稱
永真蘊涵
,記為
,顯然
若且唯若
且
。
普遍有效公式的獲得,有的可以從命題演算公式中的永真公式(即重言式)得到。如果謂詞演算公式中包含量詞,且出現的變元都是
約束變元,那么這個謂詞演算公式就是一個命題,因此用它置換命題演算永真公式中的命題,得到的是普遍有效公式。例如,由
,得
。還有的可以用謂詞填式置換命題演算永真公
用以上諸法得到的普遍有效公式,如果是永真蘊涵式,那么相應地,就得到了正確的推理形式,即推理格式。
一些重要的普遍有效公式
下面給出一些重要的普遍有效公式,並給予必要的說明。
(此永真蘊涵式的後件
中的
未被約束,而是可以任意選定的)。
如果
取真值,那么對任意取定的個體變元
都真,所以
為真。
如果任選定個體y,而由某前提S能推出y具有某個性質F(相當於
,那么由同樣的前提S就能夠推出所有個體都具有這個性質F(相當於
)。
例如,要推證“線段的垂直平分線上的所有的點都與線段兩端等距”,推證的方法是:在
垂直平分線上任取定一點,證明這點與線段兩端等距”。這是因為,如果能夠證明垂直平分線上任意取的一點有此性質,那么就證明了上面所有的點都有此性質。這裡說y是任選的個體,就是說y的選擇應當與前提S無關,即指“S中不含作為自由變元的y”;若S中含有作為自由變元的y,則y的選擇就與前提S有關了。
如果能任選定個體y,具有某性質F,它蘊涵S(相當於
),那么,必能有個體具有性質F,它蘊涵S (相當於
),這裡說y為任選的個體,就是指y的選擇應當與S無關,它反映了“S中不含作為自由變元的y”。
如果所有的x,都使F(x)真,那么必有x,使F(x)真。
對於
約束變元而言,x可以改為y或其他字母,但不能與已在式中用的字母重複。
並非所有x均使F(x)真,等價於有x使F(x)不真。
不存在x使F(x)真,等價於所有的x都使F(x)不真。
所有x都使F(x)真,且所有x都使G(x)真,等價於所有x都使F(x)與G(x)均真。
有x使F(x)真,或有x使G(x)真,等價於有x使F(x)或G(x)真。
如果所有x都使F(x)真,或所有x都使G(x)真,那么,
所有x都使F(x)或G(x) 真。注意:反過來未必成立!
如果有x使F(x)和G(x)均真,則必定有x使F(x)真且有x使G(x)真。注意: 反過來未必成立!