普遍有效公式

普遍有效公式

普遍有效公式(universally valid formula)亦稱永真公式或恆真公式,是一種基本公式。普遍有效是數理邏輯用語,狹謂詞演算的一個公式是普遍有效的,若且唯若:對任何個體域,用任一個體常項代人其中的個體變項,用任一命題常項代人其中的命題變項,並且用任一特定的謂詞常項代人其中的謂詞變項,其結果總是真的。一公式普遍有效時,稱為普遍有效公。狹謂詞邏輯中的普遍有效公式往往顯示了一個邏輯規律。例如:(∀x)(F(x)∨¬F(x))表示排中律。(∀x)A(x)→(∃x)A(x)表示全稱蘊涵存在。命題邏輯中的普遍有效公式就是重言式

基本介紹

  • 中文名:普遍有效公式
  • 外文名:universally valid formula
  • 別稱:永真公式、恆真公式
  • 所屬學科:數學(數理邏輯)
  • 相關概念:重言式,謂詞演算公式等
基本介紹,一些重要的普遍有效公式,

基本介紹

由謂詞填式或命題變元,利用真值函式和量詞所構成的式子叫做謂詞演算公式
如果謂詞演算公式中,不論用任何特定的命題代入其中的命題變元,不論對什麼個體域,不論用任何特定個體代入其中的個體變元,並且用任一特定的謂詞代入其中的謂詞變元,其結果總是真的(或者假的)則稱這個謂詞演算公式為永真公式(或者永假公式)。渭詞演算永真公式又叫做普遍有效公式
是兩個謂詞演算公式,如果“
”是一個永真公式,則稱
等價,記為
。如果“
”是一個永真公式,則稱
永真蘊涵
,記為
,顯然
若且唯若
普遍有效公式的獲得,有的可以從命題演算公式中的永真公式(即重言式)得到。如果謂詞演算公式中包含量詞,且出現的變元都是約束變元,那么這個謂詞演算公式就是一個命題,因此用它置換命題演算永真公式中的命題,得到的是普遍有效公式。例如,由
,得
。還有的可以用謂詞填式置換命題演算永真公
式中的命題而得到。例如,由
,得
。又如,由
除此之外,普遍有效公式還可以從量詞的意義得出。
用以上諸法得到的普遍有效公式,如果是永真蘊涵式,那么相應地,就得到了正確的推理形式,即推理格式。

一些重要的普遍有效公式

下面給出一些重要的普遍有效公式,並給予必要的說明。
(此永真蘊涵式的後件
中的
未被約束,而是可以任意選定的)。
如果
取真值,那么對任意取定的個體變元
都真,所以
為真。
如果
取假值,則根據蘊涵的定義,
必真。
因此,無論何種情形,
永真,即
,(這裡a是常個體)。
如果對於某一個體
真,則
必真,所以
真;
如果
假,則根據蘊涵的定義,
必真。
因此
這裡S中不含作為自由變元y。
如果任選定個體y,而由某前提S能推出y具有某個性質F(相當於
,那么由同樣的前提S就能夠推出所有個體都具有這個性質F(相當於
)。
例如,要推證“線段的垂直平分線上的所有的點都與線段兩端等距”,推證的方法是:在垂直平分線上任取定一點,證明這點與線段兩端等距”。這是因為,如果能夠證明垂直平分線上任意取的一點有此性質,那么就證明了上面所有的點都有此性質。這裡說y是任選的個體,就是說y的選擇應當與前提S無關,即指“S中不含作為自由變元的y”;若S中含有作為自由變元的y,則y的選擇就與前提S有關了。
這裡,S中不含作為自由變元的y。
如果能任選定個體y,具有某性質F,它蘊涵S(相當於
),那么,必能有個體具有性質F,它蘊涵S (相當於
),這裡說y為任選的個體,就是指y的選擇應當與S無關,它反映了“S中不含作為自由變元的y”。
如果所有的x,都使F(x)真,那么必有x,使F(x)真。
對於約束變元而言,x可以改為y或其他字母,但不能與已在式中用的字母重複。
這裡
的簡記。
並非所有x均使F(x)真,等價於有x使F(x)不真。
這裡
的簡記。
不存在x使F(x)真,等價於所有的x都使F(x)不真。
所有x都使F(x)真,且所有x都使G(x)真,等價於所有x都使F(x)與G(x)均真。
有x使F(x)真,或有x使G(x)真,等價於有x使F(x)或G(x)真。
如果所有x都使F(x)真,或所有x都使G(x)真,那么,
所有x都使F(x)或G(x) 真。注意:反過來未必成立!
如果有x使F(x)和G(x)均真,則必定有x使F(x)真且有x使G(x)真。注意: 反過來未必成立!

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