基本介紹
- 中文名：否命題
- 外文名：No proposition
- 學科：數學
- 命題：可以判斷真假的陳述句
- 相關概念：逆否命題、原命題
- 性質：否命題與逆命題等價等
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定義
命題
命題的定義：可以判斷正確或錯誤的句子叫做命題。其中判斷為真的語句叫做真命題，判斷為假的語句叫做假命題。每一個命題都有逆命題，只要將原命題的題設改成結論，並將結論改成題設，便可得到原命題的逆命題。但是原命題正確，它的逆命題未必正確。例如真命題“對頂角相等”的逆命題為“相等的角是對頂角”，此命題就是假命題。
互逆命題
互逆命題的定義：如果一個命題的條件與結論分別是另一個命題的結論與條件，那么這兩個命題稱為互逆命題。如把其中一個稱為原命題，那么另一個稱為它的逆命題。
互否命題
逆否命題的定義：一個命題的條件和結論分別是另一個命題的條件的否定和結論的否定，把這樣的兩個命題叫做互否命題。如果把其中一個稱為原命題，那么另一個就叫做它的否命題。
互逆命題
兩個命題中，如果第一個命題的條件是第二個命題的結論，而第一個命題的結論又是第二個命題的條件，那么這兩個命題叫做互逆命題。其中一個命題稱為另一個命題的逆命題。把一個命題的條件和結論互換就得到它的逆命題，所以每個命題都有逆命題。
形式
四中命題具有形式：設p為原命題條件，q為原命題結論則：
（1）原命題：若p則q ；
（2）逆命題：若 q則p ；
（3）否命題：若非p則非q；
（4）逆否命題：若非q則非p。
性質
（1）否命題與原命題可同真同假， 也可一真一假。
（2）否命題與逆命題等價，若逆命題為真，則否命題為真；反之，若逆命題為假，則否命題為假。例如：
1）原命題為：若a=1，則
，這是真命題；
逆命題：若
，則a=1，這是一個真命題；
否命題：若
，則
，這是一個真命題。
2）原命題為：若a=0，則ab=0，這是真命題；
逆命題：若ab=0，則a=0，這是一個假命題；
否命題為：若
，則
，這是一個假命題。
兩者區別
定義
（1）設“若p則q”為原命題，那么“若非p則非q”就叫做原命題的否命題；
（2）設“p”是一個命題，那么“非p”叫做命題p的否定，“非p”記作“
p”。
區別
否命題是對原命題的條件與結論都作否定， 否命題與原命題可同真同假， 也可一真一假。而命題的否定是：
（ 1）在不考慮命題的條件與結論的情況下對整個命題作否定，此時只需在原命題前加“並非”即可。
（2）如果考慮命題的條件與結論，則僅僅對命題的結論作否定。任何一個命題與該命題的否
定必定是一真一假（常用這一點來驗證寫出來的命題的否定是否正確） ．
命題的否定中的關鍵字剖析
（1）一般命題中“都， ”對應於“不都，” ，而不是對應於“都不， ” ； “全，”對應於“不全，” ，而不是對應於“全不，” ，“，且， ”對應於“ ，或， ” ；“，或， ”對應於“ ，且， ” 。
（2）全稱命題與存在性命題中，“任意， ” 對應於“有些， ”等； “存在，” 對應於“所有， ”等，“至少有一個” 對應於“一個都沒有”等； “至多有一個” 對應於“至少有兩個”等。
否命題的改寫說明
原命題如果是“若p則q”或“如果 ，，那么，”的形式，則按照否命題的定義改寫即可，原命題如果不是上面的形式，則先改寫成上面的形式後，再去寫它的否命題。
關係
原命題、逆命題、否命題和逆否命題四種命題有如下關係。
相互關係
四種命題的相互關係如下：
（1）原命題與逆命題互逆；
（2）否命題與原命題互否；
（3）原命題與逆否命題相互逆否；
（4）逆命題與否命題相互逆否；
（5）逆命題與逆否命題互否；
（6）逆否命題與否命題互逆。
真假關係
四種命題的真假關係如下：
（1）兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性；
（2）兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關係(原命題與逆否命題同真同假，逆命題與否命題同真同假）。
原命題 | 逆命題 | 否命題 | 逆否命題 |
真 | 真 | 真 | 真 |
真 | 假 | 假 | 真 |
假 | 真 | 真 | 假 |
假 | 假 | 假 | 假 |
