同方差性是經典線性回歸的重要假定之一，指總體回歸函式中的隨機誤差項（干擾項）在解釋變數條件下具有不變的方差。計量經濟學中， 一組隨機變數具備同方差即指線性回歸的最小二乘法（OLS, Ordinary Least Squares）的殘值服從均值為0，方差為σ^2的常態分配，即其干擾項必須服從隨機分布。與之相對應的異方差性則說明干擾項不滿足此均值為0，方差為σ^2的常態分配。
基本介紹
- 中文名：同方差性
- 外文名：Homoscedasticity
- 別稱：最小二乘法
- 表達式：Var(u|x)=σ^2
- 提出者：Achen
- 提出時間：1995.06.01
- 套用學科：計量統計學
- 適用領域範圍：數學統計、經濟統計、機器學習算法
- 適用領域範圍：回歸分析、時間序列
基本假設,求證過程,不偏性,推定,同方差性檢驗,套用,
基本假設
同方差性有四個基本假設，假設一被稱為（White Noise Condition）白色噪音假設， 干擾項為No Autocorrelation;即誤差部分相互沒有關聯，假設回歸式 y = α+βx+u, 其誤差項中，u1,u2各誤差之間沒有任何聯繫，即：COV（u1*u2）=0；假設二為干擾項具備同方差性或者等分散, 即誤差項與獨立變數（independent variable）之間相互獨立, 並且誤差項的分散(方差 Variance)必須等同，即Var(u|x)=σ^2；解釋變數之間不存在多重共線性；解釋變數是確定變數。
求證過程
在滿足上述要求的前提下，OLS回歸式的統計量才能夠同時滿足不偏性Unbaisedness和效率性Efficiency。所推定出來的線性回歸式才能被稱為最好的不偏線性統計量（BLUE; best linear unbaised estimators)。
所有線性回歸式可以表現為矩陣(Matrix)y=xβ+e 其中y為n*1, x為n*k, e為n*1。
根據OLS， S=∑e^2=∑e'*e. FOC β on S==> -2x'(y-βx)=0 ==> β=(x'x)^-1x'e=β+(x'x)^-1x'e
不偏性
Unbiasedness,不偏性
E(β) = β+E(x'x)^-1x'e)=β+E[E(x'x)^-1x'e|x)]=β+E((x'x)^-1x'E(e|x)]=β
推定
最好的不偏性統計量（BLUE）
假設單純回歸式y=α+βx+u滿足white noise condition的2個假設即，No autocorrelation和同方差性，以及Gauss Markov condition，β的分散可定義為Var(β^)=σ∑w^2. 假設有另一個統計量β~滿足線性式。 求證：Var(β^)<Var(β~)
β~=∑w~*y since β satisfies the condition of linear estimator. ==> β~=∑w~*（α+βx+u）=α∑w~+β∑w~*x+∑w~*u 為了滿足不偏性，這裡∑w~*x=1 由此可得出β~的方差：Var(β~)=σ^2∑w~^2。想要證明Var(β^)<Var(β~) 必須得出∑w~^2>∑w^2. 在要求不偏性的時候已經得出∑w~*x=1，所以可推定∑w~*w=1,進而得出 ∑w~^2-∑w^2=(∑w~^2-∑w^2)^2>0==>∑w~^2>∑w^2即Var(β^)<Var(β~)。
同方差性檢驗
誤差項的同方差性檢驗一般運用E檢驗，即能量檢驗（Energy Test），計算機率分布之間的統計學概念下的距離。
其他檢驗包括：Breush-Pagan檢驗，對平方後的誤差項運行一個輔助回歸，保留被解釋的平方項的和，通過開方檢驗判斷誤差項是否具有異方差性。其替代檢驗：Koenker-Bassett檢驗則在樣本量較小時套用。
判斷同方差性實例：
用EVIEWS測定是否符契約方差（存在異方差Heteroskedasticity）- Heteroskedasticity test (White)
Heteroskedasticity Test: Breusch-Pagan-Godfrey
套用
- 同方差性主要套用於原始數據圖形模式識別及機器學習算法研究；
- 費舍的線性判別分析，試圖找到兩類物體或事件的特徵的一個線性組合，以能夠特徵化或區分它們。
