同一法

在符契約一法則的前提下,代替證明原命題而證明它的逆命題成立的一種方法叫做同一法.

基本介紹

• 中文名：同一法
• 外文名：The same method
• 屬性：幾何證明

同一法則

同一法則的定義是：如果一個命題的題設和結論都是唯一的事項時，那么它和它的逆命題同時有效。這稱為同一法則。

互逆兩個命題一般是不等價的。

例如：

原命題：福建是中國的一個省（真命題）

逆命題：中國的一個省是福建（假命題）
但當一命題的題設和結論都是唯一的事項時，則它們是等效的。

例如：

原命題：中國的首都是北京（真命題）

逆命題：北京是中國的首都（真命題）
因為世界上只有一個中國，而且中國只有一個首都，所以互逆的兩個命題是等效的。

又如 ：
原命題：等腰三角形頂角平分線是底邊上的高。（真命題）

逆命題：等腰三角形底邊上的高是頂角平分線。（真命題）

因為在等腰三角形這一前提下，頂角平分線和底邊上的高都是唯一的，所以互逆的兩個命題是等效的。

概述

在符契約一法則的前提下,代替證明原命題而證明它的逆命題成立的一種方法叫做同一法.同一法是間接證法的一種。當要證明某種圖形具有某種特性而不易直接證明時，使用此法往往可以克服這個困難。 用同一法證明的一般步驟是: (1)不從已知條件入手,而是作出符合結論特性的圖形; (2)證明所作的圖形符合已知條件; (3)推證出所作圖形與已知為同一圖形.

例題：

例：已知：N為正方形ABCD的BC邊上一點，延長BA到M，使AM=CN，作DE⊥MN，E為垂足。求證：垂足E線上段AC上。

證明:

設AC與MN的交點為點F,連結AF、DM、DN.

顯然易證Rt△MAD≌Rt△NCD,

於是得到DM=DN,∠MDA=∠NDC.

所以∠MDN=∠MDA+∠ADN=∠NDC+∠ADN=∠ADC=90°,

所以△DMN是等腰直角三角形,所以∠DMF=45°,

又∠DAF=45°,所以∠DMF=∠DAF,所以四邊形MAFD是圓內接四邊形,所以∠MFD=∠MAD=90°,即DF⊥MN,

又DE⊥MN,

由此可見,DF和DE是同一條直線,點F和點E實際是同一個點(經過直線外一點有且只有一條直線垂直於已知直線),而F是AC與MN的交點,當然在AC上,

這就證明了DE⊥MN的垂足E在AC上.

說明:本題用直接證法不容易,可改用間接證法(同一法等)

在數學等學科中，同一法是一種較常用的證明方法，除此之外，數學等學科中常用的證明方法還有構造法、反證法，化歸法，等等。