反變換法

反變換法又稱逆變換法，是系統仿真中獲得均勻隨機變數的一種方法。反變換法是最常用且最為直觀的一種隨機變數生成方法，它基於機率積分變換定理，通過對分布函式進行反變換來實現，因此稱為反變換法。

基本介紹

• 中文名：反變換法
• 外文名：Inverse Transform Technique
• 別稱：逆變換法
• 套用：獲得均勻隨機變數的一種方法
• 原理：機率積分變換定理

基本介紹

反變換法是最常用且最為直觀的一種隨機變數生成方法。它基於機率積分變換定理，通過對分布函式進行反變換來實現，因此稱為反變換法。

設隨機變數X的分布函式為 ，則 的取值範圍為[0，1]。為了得到隨機變數的抽樣值，可以先產生在[0，1]區間上均勻分布的獨立隨機變數U，根據分布函式的性質，可知其分布函式的反函式 必然滿足

因此，由得到的值即為所需要的隨機變數

如圖1所示。

圖1 反變換法的原理

生成隨機變數的方法與步驟

反變換法可用於從均勻分布、指數分布、三角分布、威布爾分布以及經驗分布中取樣，同時也是很多離散分布產生樣本的基本方法。下面結合具體的例子來說明生成均勻分布、指數分布和離散均勻分布等幾種隨機變數的方法和步驟。其他幾種分布類型的隨機變數的生成，可自行查閱相關資料。

均勻分布

【例1】均勻分布隨機變數X的生成。

設隨機變數X是[a，b]上均勻分布的隨機變數，即機率密度函式

則由可得到x的分布函式

根據其反函式，即有抽樣公式

因此，可得採用反變換法生成均勻分布的隨機變數的一般步驟，具體如下：

①生成獨立的均勻分布隨機數序列。

②令。則數列即為所求的均勻分布的隨機變數序列。

指數分布

【例2】 指數分布隨機變數X的生成。

設X的分布函式為

令，可得其反函式

由於，則，即隨機變數u與1-u的分布是相同的，所以上式可改寫為

由此，可得到生成指數分布的隨機變數的一般步驟如下：

①生成獨立的均勻分布隨機數序列。

②令，則數列即為所求的指數分布的隨機變數序列。

離散均勻分布

當X是離散型的隨機變數時，由於離散型隨機變數的分布函式也是離散的，因此反變換法的形式也有所不同，不能直接利用反函式來獲得X的抽樣值。

設X是離散型隨機變數，取值為，並記其機率密度函式為

且

相應的分布函式為

為了套用反變換法得到離散隨機變數X，先將[0，1]區間按的值分成n個子區間

並依次編號為1，2，…，n。若U是[0，1]區間上的均勻分布隨機變數，則某個的值落在哪個子區間上，相應子區間對應的就是所需要的輸出量。

【例3】離散均勻分布。

考察{1，2，…，n}上的離散均勻分布，其機率密度函式為

相應的分布函式為

令，如果均勻分布U(0，1)的隨機數滿足

則可以通過取X=i來生成隨機變數X。

由式可求解得，即取i的值為大於或等於的最小整數。因此，生成離散型均勻分布的隨機變數的一般步驟如下：

① 生成獨立的均勻分布隨機數序列。

② 令，則數列即為所求的離散型均勻分布的隨機變數序列。