反自反關係

反自反關係

反自反關係(anti-reflexive relation)是一種特殊的關係,指任何事物與其自身之間都不具有的那種關係。用符號表示:R是A上的反自反關係⇔∀a(a∈A→¬(aRa))。當A上的R為反自反關係時,稱R在A上是反自反的,或說A上的關係R有反自反性。例如,整數集上的關係R={〈x,y〉|x大於y}是反自反的,又如人群中關係G={〈x,y〉|x是y的父親}是反自反的。一個關係不能既是自反的又是反自反的,但存在既不是自反的又不是反自反的關係。如A={a,b}上的二元關係R={〈a,a〉,〈a,b〉}。當A上的關係R是反自反的時,A的矩陣的主對角線上的元素全為0。

基本介紹

  • 中文名:反自反關係
  • 外文名:anti-reflexive relation
  • 所屬學科:數學
  • 所屬問題:集合論(二元關係)
  • 相關概念:二元關係,自反關係等
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基礎知識

二元關係

設A,B是兩個集合,R是A×B的任意一個子集,即
則稱R為從集合A到集合B的一個二元關係,簡稱為從A到B的一個二元關係
稱R為空關係
若R=A×B,稱為全關係
當A=B時,稱二元關係
為A上的二元關係
當A=B時,記
稱之為A上的恆等關係

自反關係與反自反關係

定義1令R是A上的二元關係,若對於A中的每個
都有
,則稱R具有自反性(或稱R是自反關係)。
即R是A上的自反關係
定義2令R是A上的二元關係,若不存在A中的
,使得
,則稱R具有反自反性(或稱R是反自反關係)。
即R是A上的反自反關係
自反的關係亦稱“具有反身性的關係”。對於類K中一個確定的關係R來說,若類K中任意的個體和它自身都具有關係R,則稱關係R在類K中為自反的關係。若類K中沒有一個個體和它自己具有關係R,則稱關係R在類K中為反自反的關係。若類K中有的個體和它自己具有關係R,而有的個體和它自己不具有關係R,則稱關係R在類K中為非自反的關係。例如,設類K為實數域,則等於關係“=”是自反的關係,大於關係“>”,小於關係“<”都是反自反的關係。“x的平方數是Y”的這種關係就是非自反的關係。因為0的平方數是0,1的平方數是1,即當x為0(或1)時,y也同時為0(或1),但當x為其它實數時,x的平方數y就不能再與x相同了。所以,“x的平方數是y”的這種關係就既不是自反的關係,也不是反自反的關係,而是非自反的關係。

例題解析

例1】設A={1,2,3,4},下列幾個是A 上的二元關係。
R1={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,4>,<4,1>,<4,4>};
R2={<1,1>,<1,2>,<2,1>};
R3={<1,1>,<1,2>,<1,4>,<2,1>,<2,2>,<3,3>,<4,1>,<4,4>};
R4={<2,1>,<3,1>,<3,2>,<4,1>,<4,2>,<4,3>};
R5=(<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4>,<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>};
R6={<3,4>}。
其中,哪些是自反關係? 哪些是反自反關係?
解:關係R3,R5是自反的,因為它包括所有形如<a,a>的序對。關係R4,R6是反自反的,因為它不包括任何形如<a,a>的序對。而關係R1,R2既不是自反的,也不是反自反的。因為R1中包含<1,1>,<2,2>,<4,4>,但不包含<3,3>;R2中包含<1,1>.但不包含<2,2>,<3,3>,<4,4>。
自反性和反自反性可以在關係圖和關係矩陣上非常直觀地反映出來。
例1中R3,R5的關係圖如圖1、2所示。
圖1圖1
圖2圖2
可見自反關係的關係圖的每個結點上均含有自環。
R3,R5的關係矩陣
可見自反關係的關係矩陣的對角線上的元素全為1。
而R4,R6對應的關係圖每個結點上都沒有自環,對應的關係矩陣對角線上元素的值全有0,因此是反自反關係。

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