友矩陣亦稱伴侶矩陣,矩陣標準形理論中一類重要的矩陣,是數域F上首項係數為1的多項式所對應的特定形式n階矩陣。其主對角線上方或者下方的元素均為1,而主對角線元素為零;最後一行或第一行的元素可取任意值;而其餘元素均為零,友矩陣的特徵根多項式是首一多項式。
基本介紹
- 中文名:友矩陣
- 外文名:companion matrix
- 別名:伴侶矩陣
- 所屬學科:數學
- 相關概念:最小多項式、特徵多項式等
定義,相關定理,定理1,定理2,定理3,定理4,
定義
設
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是數域F上的首項為1的多項式,則n階矩陣:
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稱為多項式f(t)的友矩陣(或伴侶矩陣),方陣的有理標準形就是由友矩陣塊構成的分塊對角矩陣,而有理標準形在套用上以及理論推導中,都有較大的作用。
相關定理
定理1
每一個首1多項式既是它的友矩陣的最小多項式,又是它的友矩陣的特徵多項式。
如
的極小多項式的次數為n,那么與每一個特徵值對應的最大的Jordan塊就是與每一個特徵值對應的唯一的Jordan塊.這樣的矩陣是無損的,特別地,每一個友矩陣都是無損的,當然,不一定每個無損的矩陣
都是友矩陣,但是A與A的特徵多項式的友矩陣C有同樣的Jordan標準型(與每一個不同的特徵值
對應的只有一個分塊,所以A與C相似。
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定理2
設C為多項式p(x)的友矩陣,
是C的特徵值,則
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是C的對應於
的特徵向量。
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定理3
定理4
設
有極小多項式
以及特徵多項式
,則下面諸結論等價:
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(a)
的次數為n;
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(b)
=
;
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(c)A是無損的;
(d)
與P^(t)的友矩陣相似。
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