原子測度

原子測度(atomic measure)指具有某種奇特性質的測度。設(Ω，F，μ)是測度空間，若存在A∈F，μ(A)>0，而且當任意B∈F，B⊂A時，有μ(B)=μ(A)或μ(B)=0，二者必居其一，則稱A是測度μ的原子，含有原子的測度稱為原子測度，不含原子的測度稱為非原子測度。

基本介紹

• 中文名：原子測度
• 外文名：atomic measure
• 所屬學科：數學（測度論）
• 相關概念：原子，測度空間，非原子測度等

定義

如果是一個測度空間，集合稱為的一個原子(atom)，若且唯若且對每個，或者或者。沒有任何原子的測度稱為非原子的(nonatomic)。

原子的主要實例是具有正有限測度的單元素集，一個正的有限測度集合是一個原子，如果它的可測子集僅僅是它本身和，這裡指非平凡原子：設X是不可數集，是集合A的集類，A或者可數，滿足，或者具有可數補集，滿足，那么是一個測度，X是一個原子，另一方面，勒貝格測度是非原子的。

一個測度空間，或測度稱為純原子的(purely atomic)，若且唯若存在由的原子組成的集類，使得對每個，是對所有的，滿足的數的和。(對任意的非負實數，定義為上所有有限子集的和的上確界)。純原子測度的主要例子是，存在一個函式，使得，滿足的計數測度是純原子的，在上，研究最多的純原子測度集中在對於某個，滿足的可數集。

相關介紹

人們對具有無限測度的集合併不感興趣的，它可能會帶來一些技術困難，除非它們有任意大有限測度的子集，對-有限測度和下面較為一般的個別測度，這也成立。測度空間稱為可局部化的(localizable)，若且唯若存在由具有有限測度的不相交可測集組成的集類，這些子集的並為，使得對每個，是可測的若且唯若對所有，有，從而有，最有用的可局部化測度是滿足可數的-有限測度。在可能不可數集合上的計數測度提供了其他的例子。

在實際中考慮較多的測度或者是純原子的或者是非原子的，但總可以把一個純原子的有限測度添加到一個非原子測度中，從而得到一個測度，對這個測度，下面的分解是非平凡的。

定理 設是一個可局部化空間，那么存在上的測度和，使得，其中是純原子的，是非純原子的。

證明提示：首先，可以歸約為有限測度空間的情形，設為的所有原子組成的集類，對原子，定義關係，若且唯若，這是個等價關係，設是所有等價類的集合且對每個，在等價類中選擇一個原子，令，且。