原函式存在定理

原函式存在定理為:若f(x)在[a,b]上連續,則必存在原函式。此條件為充分條件，而非必要條件。即若f（x）存在原函式，不能推出f(x)在[a,b]上連續。由於初等函式在有定義的區間上都是連續的，故初等在其定義區間上都有原函式。需要注意的是初等函式的導數是一定是初等函式，初等函式的原函式不一定是初等函式。

基本介紹

• 中文名：原函式存在定理
• 外文名：Existence Theorem of Primitive Functions
• 學科：數學
• 解釋：存在定理為:若f(x)在[a,b]上連續

定理內容

設f（x）在[a,b]上連續，則變上限積分在[a,b]上可導，且其導數

定理證明

由導數定義，只需證明

設x∈(a，b），給x一個改變數△x，使

則

由積分中值定理，有

其中ε介於x與x+△x之間，因△x正負未知，不確定x與x+△x的大小。

等式兩端除以△x，令△x→0，取極限

當△x→0時，x+△x→x，從而ε→x，又f（x）在[a,b]上連續，

所以，

該定理表明，設f（x）在[a,b]上連續，則必存在原函式且原函式為f（x）的變上限積分。

推論

設f（x）在[a,b]上連續，φ（x），ω（x）在[α,β]上可導，a≤φ﹙x﹚≤b,a≤ω（x）≤b，x∈[a,b].

則

證它是由與的複合而成的函式，由複合函式微分法和原函式存在定理，且φ（x）在[α,β]上可導

又ω（x）在[α,β]上可導，a≤ω（x）≤b

原函式存在與間斷點的關係

設F'（x）=f(x)，f（x）在x=x0處不連續，則x0必為第二類間斷點（對於考研數學，只能是第二類振盪間斷點），而非第一類間斷點或第二類無窮間斷點。

當f(x)存在第二類振盪間斷點時，不能確定是否存在原函式，這種情況下結論與f(x)的表達式有關。

原函式存在的三個結論：

如果f(x)連續，則一定存在原函式；

如果f(x)不連續，有第一類可去、跳躍間斷點或第二類無窮間斷點，那么包含此間斷點的區間內，一定不存在原函式；

如果f(x)不連續，有第二類振盪間斷點，那么包含此間斷點的區間內，原函式可能存在，也可能不存在。