基本介紹
- 中文名：2010年山東專升本大學高等數學考試大綱
- 考生：應了解或理解“高等數學”中函式
- 相關：高等數學
- 注意：各部分知識結構及知識的內在聯繫
總要求,函式,一元函式微分,函式積分,向量與幾何,函式微積分,無窮級數,常微分方程,
總要求
2010年山東省普通高等教育專升本高等數學（公共課）考試要求，考生應了解或理解“高等數學”中函式、極限和連續、一元函式微分學、一元函式積分學、向量代數與空間解析幾何、多元函式微積分學、無窮級數、常微分方程的基本概念與基本理論；學會、掌握或熟練掌握上述各部分的基本方法。應注意各部分知識的結構及知識的內在聯繫；應具有一定的抽象思維能力、邏輯推理能力、運算能力、空間想像能力；有運用基本概念、基本理論和基本方法正確地推理證明，準確地計算；能綜合運用所學知識分析並解決簡單的實際問題。
函式
（一）函式
（1）理解函式的概念：函式的定義，函式的表示法，分段函式。
（2）理解和掌握函式的簡單性質：單調性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函式：反函式的定義，反函式的圖象。
（4）掌握函式的四則運算與複合運算。
（5）理解和掌握基本初等函式：冪函式，指數函式，對數函式，三角函式，反三角函式。
（6）了解初等函式的概念。
（二）極限
（1）理解數列極限的概念：數列，數列極限的定義，能根據極限概念分析函式的變化趨勢。會求函式在一點處的左極限與右極限，了解函式在一點處極限存在的充分必要條件。
（2）了解數列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數列，極限存在定理，掌握極限的四則運算法則。
（3）理解函式極限的概念：函式在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關係，x趨於無窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時函式的極限。
（4）掌握函式極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。
（5）理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關係，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。
（6）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
（三）連續
（1）理解函式連續的概念：函式在一點連續的定義，左連續和右連續，函式在一點連續的充分必要條件，函式的間斷點及其分類。
（2）掌握函式在一點處連續的性質：連續函式的四則運算，複合函式的連續性，反函式的連續性，會求函式的間斷點及確定其類型。
（3）掌握閉區間上連續函式的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理），會運用介值定理推證一些簡單命題。
（4）理解初等函式在其定義區間上連續，並會利用連續性求極限。
（1）理解函式的概念：函式的定義，函式的表示法，分段函式。
（2）理解和掌握函式的簡單性質：單調性，奇偶性，有界性，周期性。
（3）了解反函式：反函式的定義，反函式的圖象。
（4）掌握函式的四則運算與複合運算。
（5）理解和掌握基本初等函式：冪函式，指數函式，對數函式，三角函式，反三角函式。
（6）了解初等函式的概念。
（二）極限
（1）理解數列極限的概念：數列，數列極限的定義，能根據極限概念分析函式的變化趨勢。會求函式在一點處的左極限與右極限，了解函式在一點處極限存在的充分必要條件。
（2）了解數列極限的性質：唯一性，有界性，四則運算定理，夾逼定理，單調有界數列，極限存在定理，掌握極限的四則運算法則。
（3）理解函式極限的概念：函式在一點處極限的定義，左、右極限及其與極限的關係，x趨於無窮（x→∞，x→+∞，x→-∞）時函式的極限。
（4）掌握函式極限的定理：唯一性定理，夾逼定理，四則運算定理。
（5）理解無窮小量和無窮大量：無窮小量與無窮大量的定義，無窮小量與無窮大量的關係，無窮小量與無窮大量的性質，兩個無窮小量階的比較。
（6）熟練掌握用兩個重要極限求極限的方法。
（三）連續
（1）理解函式連續的概念：函式在一點連續的定義，左連續和右連續，函式在一點連續的充分必要條件，函式的間斷點及其分類。
（2）掌握函式在一點處連續的性質：連續函式的四則運算，複合函式的連續性，反函式的連續性，會求函式的間斷點及確定其類型。
（3）掌握閉區間上連續函式的性質：有界性定理，最大值和最小值定理，介值定理（包括零點定理），會運用介值定理推證一些簡單命題。
（4）理解初等函式在其定義區間上連續，並會利用連續性求極限。
一元函式微分
（一）導數與微分
（1）理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關係，會用定義求函式在一點處的導數。
（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
（3）熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及複合函式的求導方法。
（4）掌握隱函式的求導法、對數求導法以及由參數方程所確定的函式的求導方法，會求分段函式的導數。
（5）理解高階導數的概念，會求簡單函式的n階導數。
（6）理解函式的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關係，會求函式的一階微分。
（二）中值定理及導數的套用
（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。
（2）熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0·∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的極限方法。
（3）掌握利用導數判定函式的單調性及求函式的單調增、減區間的方法，會利用函式的增減性證明簡單的不等式。
（4）理解函式極值的概念，掌握求函式的極值和最大（小）值的方法，並且會解簡單的套用問題。
（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。
（6）會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。
（1）理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關係，會用定義求函式在一點處的導數。
（2）會求曲線上一點處的切線方程與法線方程。
（3）熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及複合函式的求導方法。
（4）掌握隱函式的求導法、對數求導法以及由參數方程所確定的函式的求導方法，會求分段函式的導數。
（5）理解高階導數的概念，會求簡單函式的n階導數。
（6）理解函式的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關係，會求函式的一階微分。
（二）中值定理及導數的套用
（1）了解羅爾中值定理、拉格朗日中值定理及它們的幾何意義。
（2）熟練掌握洛必達法則求“0/0”、“∞/ ∞”、“0·∞”、“∞-∞”、“1∞”、“00”和“∞0”型未定式的極限方法。
（3）掌握利用導數判定函式的單調性及求函式的單調增、減區間的方法，會利用函式的增減性證明簡單的不等式。
（4）理解函式極值的概念，掌握求函式的極值和最大（小）值的方法，並且會解簡單的套用問題。
（5）會判定曲線的凹凸性，會求曲線的拐點。
（6）會求曲線的水平漸近線與垂直漸近線。
函式積分
（一）不定積分
（1）理解原函式與不定積分概念及其關係，掌握不定積分性質，了解原函式存在定理。
（2）熟練掌握不定積分的基本公式。
（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限於三角代換與簡單的根式代換）。
（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。
（二）定積分
（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。
（2）掌握定積分的基本性質。
（3）理解變上限的定積分是變上限的函式，掌握變上限定積分求導數的方法。
（4）掌握牛頓—萊布尼茨公式。
（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
（6）理解無窮區間廣義積分的概念，掌握其計算方法。
（7）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積。
（1）理解原函式與不定積分概念及其關係，掌握不定積分性質，了解原函式存在定理。
（2）熟練掌握不定積分的基本公式。
（3）熟練掌握不定積分第一換元法，掌握第二換元法（限於三角代換與簡單的根式代換）。
（4）熟練掌握不定積分的分部積分法。
（二）定積分
（1）理解定積分的概念與幾何意義，了解可積的條件。
（2）掌握定積分的基本性質。
（3）理解變上限的定積分是變上限的函式，掌握變上限定積分求導數的方法。
（4）掌握牛頓—萊布尼茨公式。
（5）掌握定積分的換元積分法與分部積分法。
（6）理解無窮區間廣義積分的概念，掌握其計算方法。
（7）掌握直角坐標系下用定積分計算平面圖形的面積。
向量與幾何
（一）向量代數
（1）理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法，會求單位向量、方向餘弦、向量在坐標軸上的投影。
（2）掌握向量的線性運算、向量的數量積與向量積的計算方法。
（3）掌握二向量平行、垂直的條件。
（二）平面與直線
（1）會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。
（2）會求點到平面的距離。
（3）了解直線的一般式方程，會求直線的標準式方程、參數式方程。會判定兩直線平行、垂直。
（4）會判定直線與平面間的關係（垂直、平行、直線在平面上）。
（1）理解向量的概念，掌握向量的坐標表示法，會求單位向量、方向餘弦、向量在坐標軸上的投影。
（2）掌握向量的線性運算、向量的數量積與向量積的計算方法。
（3）掌握二向量平行、垂直的條件。
（二）平面與直線
（1）會求平面的點法式方程、一般式方程。會判定兩平面的垂直、平行。
（2）會求點到平面的距離。
（3）了解直線的一般式方程，會求直線的標準式方程、參數式方程。會判定兩直線平行、垂直。
（4）會判定直線與平面間的關係（垂直、平行、直線在平面上）。
函式微積分
（一）多元函式微分學
（1）了解多元函式的概念、二元函式的幾何意義及二元函式的極值與連續概念（對計算不作要求）。會求二元函式的定義域。
（2）理解偏導數、全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件。
（3）掌握二元函式的一、二階偏導數計算方法。
（4）掌握複合函式一階偏導數的求法。
（5）會求二元函式的全微分。
（6）掌握由方程F（x，y，z）=0所確定的隱函式z=z（x，y）的一階偏導數的計算方法。
（7）會求二元函式的無條件極值。
（二）二重積分
（1）理解二重積分的概念、性質及其幾何意義。
（2）掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法。
（1）了解多元函式的概念、二元函式的幾何意義及二元函式的極值與連續概念（對計算不作要求）。會求二元函式的定義域。
（2）理解偏導數、全微分概念，知道全微分存在的必要條件與充分條件。
（3）掌握二元函式的一、二階偏導數計算方法。
（4）掌握複合函式一階偏導數的求法。
（5）會求二元函式的全微分。
（6）掌握由方程F（x，y，z）=0所確定的隱函式z=z（x，y）的一階偏導數的計算方法。
（7）會求二元函式的無條件極值。
（二）二重積分
（1）理解二重積分的概念、性質及其幾何意義。
（2）掌握二重積分在直角坐標系及極坐標系下的計算方法。
無窮級數
（一）數項級數
（1）理解級數收斂、發散的概念。掌握級數收斂的必要條件，了解級數的基本性質。
（2）掌握正項級數的比值數別法。會用正項級數的比較判別法。
（3）掌握幾何級數、調和級數與p級數的斂散性。
（4）了解級數絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。
（二）冪級數
（1）了解冪級數的概念，收斂半徑，收斂區間。
（2）了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和、差、逐項求導與逐項積分）。
（3）掌握求冪級數的收斂半徑、收斂區間（不要求討論端點）的方法。
（1）理解級數收斂、發散的概念。掌握級數收斂的必要條件，了解級數的基本性質。
（2）掌握正項級數的比值數別法。會用正項級數的比較判別法。
（3）掌握幾何級數、調和級數與p級數的斂散性。
（4）了解級數絕對收斂與條件收斂的概念，會使用萊布尼茨判別法。
（二）冪級數
（1）了解冪級數的概念，收斂半徑，收斂區間。
（2）了解冪級數在其收斂區間內的基本性質（和、差、逐項求導與逐項積分）。
（3）掌握求冪級數的收斂半徑、收斂區間（不要求討論端點）的方法。
常微分方程
（一）一階微分方程
（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。
（2）掌握可分離變數方程的解法。
（3）掌握一階線性方程的解法。
（二）二階線性微分方程
（1）了解二階線性微分方程解的結構。
（2）掌握二階常係數齊次線性微分方程的解法。
（1）理解微分方程的定義，理解微分方程的階、解、通解、初始條件和特解。
（2）掌握可分離變數方程的解法。
（3）掌握一階線性方程的解法。
（二）二階線性微分方程
（1）了解二階線性微分方程解的結構。
（2）掌握二階常係數齊次線性微分方程的解法。
