卷繞數:直觀描述,形式定義,迴轉數,

卷繞數

平面上的閉曲線關於某個點的卷繞數（winding number），是一個整數，它表示了曲線繞過該點的總次數。卷繞數與曲線的定向有關，如果曲線依順時針方向繞過某個點，則卷繞數是負數。

卷繞數在代數拓撲中是基本的概念，在向量分析、複分析、幾何拓撲、微分幾何以及物理學中也扮演了重要的角色。

注意與紐結理論中的環繞數（linking number）與絞擰數（writhe或writhing number）區分。所以，最好不要省略為“繞數”，容易引起誤會；最好也不要翻譯成“纏繞數”（一般情況下，wrapping譯作“纏繞”）。

此外，迴轉數（turning number）是卷繞數在其他定義下的另一種版本，它計算的是曲線正切的旋轉次數，而非關於某一點的旋轉次數，詳見正文。

基本介紹

直觀描述,形式定義,迴轉數,

假設在xy平面上有一條有向的閉曲線。我們可以把曲線想像為某個物體的運動軌跡，運動方向就是曲線的方向。曲線的卷繞數就是物體逆時針繞過原點的總次數。

計算繞過原點的總次數時，逆時針方向的運動算正數，順時針方向的運動算負數。例如，如果物體首先依逆時針方向繞過原點四次，然後再依順時針方向繞過原點一次，那么曲線的卷繞數就是3。

利用這種方案，根本不繞過原點的曲線的卷繞數就是零，而順時針繞過原點的曲線的卷繞數就是負數。因此，曲線的卷繞數可以是任何整數。以下的圖中顯示了卷繞數為-2、-1、0、1、2和3的曲線：

卷繞數分別為-2、-1、0、1、2和3的曲線。

x-y平面上的曲線可以用參數方程來定義：

如果我們把參數t視為時間，那么這個方程就描述了物體在 t=0 和 t=1 期間在平面上的運動。只要函式 x(t) 和 y(t) 是連續的，運動的軌跡就是一條曲線。只要物體的位置於 t=0 和 t=1 時相同，這條曲線就是閉曲線。

我們可以用極坐標系來定義這種曲線的卷繞數。假設曲線不經過原點，我們可以把參數方程寫成極坐標的形式：

函式 r(t) 和 θ(t) 必須是連續的，r＞0。因為最初和最終的位置是相同的，所以 θ(0) 和 θ(1) 的差必須是 2π 的整數倍。這個整數就是卷繞數：

這個公式定義了 x-y 平面上曲線關於原點的卷繞數。把坐標系平移，我們就可以把這個定義推廣到關於任意一點 p 的卷繞數。

我們也可以考慮路徑關於其自身正切的卷繞數。路徑隨著時間的推移而變化，迴轉數可定義為速度矢量關於原點的卷繞數。於是，在本文開頭所給的示例中，其迴轉數為3，因為計算的是小環路。

該曲線關於p的卷繞數為2，但它的總曲率為6π，故迴轉數為3。

這僅適用於浸入路徑（immersed path，即導數處處非零的可微路徑），是切向高斯映射的映射度。

這種計算曲線正切旋轉次數的卷繞數稱之為迴轉數（turning number）、旋轉數（rotation number）、旋轉指數（rotation index）或曲線指標（index of the curve），可以用總曲率除以 2π 來計算。