卷積方程

在泛函分析中，卷積、旋積或摺積(英語：Convolution)是通過兩個函式f 和g 生成第三個函式的一種數學運算元，表征函式f 與g經過翻轉和平移的重疊部分的面積。卷積方程(convolution equation)一種最常見的奇異積分方程。

基本介紹

• 中文名：卷積方程
• 外文名：convolution equation
• 領域：數學
• 性質：奇異積分方程
• 分類：第一類、第二類
• 元素：卷積運算元

卷積

在泛函分析中，卷積、旋積或摺積(英語：Convolution)是通過兩個函式f 和g 生成第三個函式的一種數學運算元，表征函式f 與g經過翻轉和平移的重疊部分的面積。

如果將參加卷積的一個函式看作區間的指示函式，卷積還可以被看作是“滑動平均”的推廣。

褶積(又名卷積)和反褶積(又名去卷積)是一種積分變換的數學方法,在許多方面得到了廣泛套用。用褶積解決試井解釋中的問題，早就取得了很好成果；而反褶積，直到最近，Schroeter、Hollaender和Gringarten等人解決了其計算方法上的穩定性問題，使反褶積方法很快引起了試井界的廣泛注意。有專家認為，反褶積的套用是試井解釋方法發展史上的又一次重大飛躍。他們預言，隨著測試新工具和新技術的增加和套用，以及與其它專業研究成果的更緊密結合，試井在油氣藏描述中的作用和重要性必將不斷增大。

卷積方程

卷積方程(convolution equation)一種最常見的奇異積分方程。第二類卷積方程是指方程：

其中：，當，並滿足條件：

其中：時，卷積方程可以直接利用傅立葉變換得到它在中的解：

其中，分別是f(x)和k(x)的傅立葉變換，這個解也可以寫成預解核的形式：

其中h(x)是的傅立葉逆變換。第二類卷積方程的齊次方程可能有非零解，只要a滿足：

因而對某些核，會產生連續譜，所以卷積方程不是弗雷德霍姆積分方程，第一類卷積方程是指方程

它與第二類卷積方程無本質區別，當屬於時，它的解是：

卷積方程中的積分運算元：

稱為卷積運算元。當，時，卷積總是連續函式。當，時，恆有，並且有豪斯多夫楊不等式：

在卷積方程中，作為特例，設，當x<0，這時方程就變成有限區間的方程：

前面解的公式同樣適用。

卷積方程的分類

卷積方程迄今未曾有過系統的分類，雖然卷積方程特例之一的偏微分方程的分類是頗有可述的。首先，大家都熟悉常實係數線性偏微分方程及方程組的分類(以下僅考慮常係數線性方程情形,因為變係數乃至非線性情形都以前者的分類為根據)。這種依賴於代數準則的古典分類以其初等性、確定性及不變性著稱,但缺點則在於對橢圓型以外的類型刻劃不足。

近代出現了考慮到方程或方程組的低階項的分類，例如1937年Пeтpoвcкий的適定組，1951年Gårding的雙曲方程，1955年的Шилов拋物組及Douglis一Nirenberg的橢圓組等，正由於低階項的附加考慮，擴大了古典定解問題的適定方程類，雖然這時不再保持自變數變換時類型的不變性。

較近更出現了按解的平滑性進行的分類，這時方程的低階項也有本質的作用，這就使人們認為分類的主要依據應放在解的通性(特別是平滑性及增降性)的考察上，而不必象古典分類那樣，考慮到適定定解問題的提法及區別等方面。