基本介紹
- 中文名：博特定理
- 外文名：Bott theorem
- 適用範圍：數理科學
簡介,同倫論中的定義,同倫群,
簡介
設Sn-1為Rn中的單位球面，GL(N,C)是從CN到CN上線性映射（從而是雙射）所構成的一般線性群，於是博特(Borr,R.)的一個定理說，對於連續映射
，當2N≥n時：
若n為奇數，則f同倫於常值映射。
若n為偶數，對於每個f可以定義一個整數deg(f)，使得：
1、f同倫於g，若且唯若deg(f)=deg(g)；
2、對於任意給定的整數m，存在一個連續映射 ，使得deg(f)=m。
同倫論中的定義
按照同倫論的術語，博特定理可以被陳述為：當2N≥n時GL(N,C)的同倫群為
由此可知，GL(N,C)的同倫群之間有關係
由此可見，這是一種周期性的定理。
同倫群
(homotopy groups)
同倫群是基本群的高維推廣，1維同倫群就是基本群π1(X,x0)。
當拓撲空間是道路連通空間時，其同倫群與基點選取無關;利用連續映射誘導的同倫群之間同態的一些性質得出，同倫群是同倫型不變數（更是拓撲不變的）；當n≥2時，同倫群πn(X,x0)是交換群，因而有時把運算寫成[α]+[β]。
