勾股定理是數學中最重要的定理之一。而勾股圓方圖是由三國時期吳國的數學家趙爽創製，用形數結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。
基本介紹
- 中文名：勾股圓方圖
- 簡介：重要的定理之一
- 創製時間：三國時期
- 創製人：趙爽
發展歷史,勾股圓方圖,
發展歷史
勾股定理是數學中最重要的定理之一。也許在數學中還找不到這樣一個定理，其證明方法之多能夠超過勾股定理。它有四百多種證明！盧米斯（Loomis）在他的《畢達哥拉斯定理》一書的第二版中，收集了這個定理的370種證明並對它們進行了分類。
關於這個定理，雖然號稱畢達哥拉斯定理，但人們在遺留下來的古希臘手稿或譯文中並沒有找到畢達哥拉斯本人及其學派的有關證明，所以人們只能對他可能用的方法進行一些揣測。有據可查的最早證明見於歐幾里得的《幾何原本》（公元前3世紀）之中。歐幾里得用幾何的方法，作出了一個巧妙的證明，有興趣的讀者不妨查閱一下。
中國古代的數學家們不僅很早就發現並套用勾股定理，而且很早就嘗試對勾股定理作理論的證明。最早對勾股定理進行證明的，是三國時期吳國的數學家趙爽。趙爽創製了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合的方法，給出了勾股定理的詳細證明。在這幅“勾股圓方圖”中，以直角邊a、b為邊長，得到正方形ABDE是由4個全等的直角三角形再加上中間的那個小正方形組成的。每個直角三角形的面積為ab/2；中間的小正方形邊長為b-a，則面積為（b-a）2。於是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c
化簡後便可得：
a2+b2=c2
亦即：
c=（a2+b2）(1/2)
趙爽的這個證明可謂別具匠心，極富創新意識。他用幾何圖形的截、割、拼、補來證明代數式之間的恆等關係，既具嚴密性，又具直觀性，為中國古代以形證數、形數統一、代數和幾何緊密結合、互不可分的獨特風格樹立了一個典範。以後的數學家大多繼承了這一風格並且有所發展。
印度的數學家兼天文學家婆什迦羅，也給出了與趙爽相同的幾何圖形。但是婆什迦羅在畫出這個圖形之後，並沒有進一步解釋和證明，只是說：“正好！”婆什迦羅還給出了這個定理的另外一個證明，即畫出斜邊上的高，由圖中給出的兩個相似三角形，我們有
c/b=b/m和c/a=a/n
即
cm=b2和cn=a2
相加便得：
a2 +b2=c(m+n)=c2
中國的數學家劉徽在證明勾股定理時也是用的以形證數的方法，只是具體圖形的分合移補略有不同而已。劉徽對這組公式進行了嚴格的論證。這是迄今為止用於勾股數的最完美的表達形式之一。
漢朝的數學家趙君卿，在注釋《周髀算經》時，附了一個圖來證明勾股定理。這個證明是四百多種勾股定理的說明中最簡單和最巧妙的。您能想出趙老先生是怎樣證明這個定理的嗎？
中國古代數學家們對於勾股定理的發現和證明，在世界數學史上具有獨特的貢獻和地位。尤其是其中體現出來的“形數統一”的思想方法，更具有科學創新的重大意義。事實上，“形數統一”的思想方法正是數學發展的一個極其重要的條件。正如當代中國數學家吳文俊所說：“在中國的傳統數學中，數量關係與空間形式往往是形影不離地並肩發展著的......十七世紀笛卡兒解析幾何的發明，正是中國這種傳統思想與方法在幾百年停頓後的重現與繼續。”
勾股圓方圖
勾股各自乘，並之為玄實。開方除之，即玄。 案玄圖有可以勾股相乘為朱實二
，倍之為朱實四。以勾股之差自相乘為中黃實。加差實亦成玄實。以差實減玄實
，半其餘。以差為從法，開方除之，復得勾矣。加差於勾即股。凡並勾股之實，
即成玄實。或矩於內，或方於外。形詭而量均，體殊而數齊。勾實之矩以股玄差
為廣，股玄並為袤。而股實方其里。減矩勾之實於玄實，開其餘即股。倍股在兩
邊為從法，開矩勾之角即股玄差。加股為玄。以差除勾實得股玄並。以並除勾實
亦得股玄差。令並自乘與勾實為實。倍並為法。所得亦玄。勾實減並自乘，如法
為股。股實之矩以勾玄差為廣，勾玄並為袤。而勾實方其里，減矩股之實於玄實
，開其餘即勾。倍勾在兩邊為從法，開矩股之角，即勾玄差。加勾為玄。以差除
股實得勾玄並。以並除股實亦得勾玄差。令並自乘與股實為實。倍並為法。所得
亦玄。股實減並自乘如法為勾，兩差相乘倍而開之，所得以股玄差增之為勾。以
勾玄差增之為股。兩差增之為玄。倍玄實列勾股差實，見並實者，以圖考之，倍
玄實滿外大方而多黃實。黃實之多，即勾股差實。以差實減之，開其餘，得外大
方。大方之面，即勾股並也。令並自乘，倍玄實乃減之，開其餘，得中黃方。黃
方之面，即勾股差。以差減並而半之為勾。加差於並而半之為股。其倍玄為廣袤
合。令勾 股見者自乘為其實。四實以減之，開其餘，所得為差。以差減合半其
余為廣。減廣於玄即所求也。
觀其迭相規矩，共為返覆，互與通分，各有所得。然則統敘群倫，弘紀眾理，貫
幽入微，鉤深致遠。故曰，其裁製萬物，唯所為之也。
