勾股數組

一般地，若三角形三邊長a，b，c都是正整數，且滿足a，b的平方和等於c的平方，那么數組（a，b，c）稱為勾股數組。勾股數組是人們為了解出滿足勾股定理的不定方程的所有整數解而創造的概念。

基本介紹

• 中文名：勾股數組
• 套用領域：數學
• 實施對象：三角形
• 理論來源：勾股定理

定義

一般地，若三角形三邊長a，b，c都是正整數，且滿足a，b的平方和等於c的平方，那么數組（a，b，c）稱為勾股數組。勾股數組是人們為了解出滿足勾股定理的不定方程的所有整數解而創造的概念。

直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。如果用a、b和c分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么a²+b²=c²。

常數

1. （3n、4n、5n）（n是正整數）（這是最著名的一組！俗稱“勾三，股四，弦五”。古人把較短的直角邊稱為勾，較長直角邊稱為股，而斜邊則為弦。）
2. （5n、12n、13n）（n是正整數）
3. （6、8、10）
4. （7、24、25）
5. （8、15、17）
6. （9、40、41）
7. （10、24、26）
8. （11、60、61）
9. （12、16、20）
10. （12、35、37）
11. （13、84、85）
12. （15、20、25）
13. （15、112、113）
14. （17、144、145）
15. （18、24、30）
16. （19、180、181）
17. （20、21、29）
18. （20、99、101）
19. （48、55、73）
20. （60、91、109）

求法

(其實a， + ， - ，就是一組萬能的有理數勾股方程，凡是一組勾股數，後面都可以加n的）

設直角三角形三邊長為a、b、c，由勾股定理知a²+b²=c²，這是構成直角三角形三邊的充分必要條件。因此，要求一組勾股數就是要解不定方程x²+y²=z²，求出正整數解。

例：已知在△ABC中，三邊長分別是a、b、c，a=n²-1,b=2n,c=n²+1(n>1)，求證：∠C=90°。

此例說明了對於大於2的任意偶數2n(n>1)，都可構成一組勾股數，三邊分別是：2n、n²-1、n²+1。如：（6、8、10），（8、15、17），（10、24、26） 等。

再來看下面這些勾股數：（3、4、5），（5、12、13），（7、24、25）、（9、40、41），（11、60、61）…這些勾股數都是以奇數為一邊構成的直角三角形。由上例已知任意一個大於2的偶數可以構成一組勾股數，實際上以任意一個大於1的奇數2n+1(n>1)為邊也可以構成勾股數，其三邊分別是2n+1、2n²+2n、2n²+2n+1，這可以通過勾股定理的逆定理獲證。

另外我們還可以通過理論得出推算公式為

a=m²-n², b=2mn，c=m²+n²，

此處不作討論。

特點

1. 兩直角邊為一奇一偶，斜邊為奇
2. 斜邊與偶數邊之差為平方數
3. 斜邊與奇數邊之差為平方數的2倍
4. 三條邊a，b，c中，兩條邊循環積的4次方之和為平方數，即 a⁴b⁴+b⁴c⁴+c⁴a⁴=L²
5. 三條邊a，b，c的8次方之和為平方數的2倍，即 a⁸+b⁸+c⁸=2L²