勞侖茲變換

洛倫茲變換是觀測者在不同慣性參照系之間對物理量進行測量時所進行的轉換關係，在數學上表現為一套方程組。洛倫茲變換因其創立者——荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲而得名。洛倫茲變換最初用來調和19世紀建立起來的經典電動力學同牛頓力學之間的矛盾，後來成為狹義相對論中的基本方程組。

簡介

洛倫茲變換是觀測者在不同慣性參照系之間對物理量進行測量時所進行的轉換關係，在數學上表現為一套方程組。洛倫茲變換因其創立者——荷蘭物理學家亨德里克·洛倫茲而得名。洛倫茲變換最初用來調和19世紀建立起來的經典電動力學同牛頓力學之間的矛盾，後來成為狹義相對論中的基本方程組。

提出

19世紀後期建立了麥克斯韋方程組，標誌著經典電動力學取得了巨大成功。然而麥克斯韋方程組在經典力學的伽利略變換下並不是協變的。 由麥克斯韋方程組可以得到電磁波的波動方程，由波動方程解出真空中的光速是一個常數。按照經典力學的時空觀，這個結論應當只在某個特定的慣性參照系中成立，這個參照系就是以太。其它參照系中測量到的光速是以太中光速與觀察者所在參照系相對以太參照系的速度的矢量疊加。然而1887年的邁克耳孫-莫雷實驗測量不到地球相對於以太參照系的運動速度。1904年，洛倫茲提出了洛倫茲變換用於解釋邁克耳孫-莫雷實驗的結果。根據他的構想，觀察者相對於以太以一定速度運動時，長度在運動方向上發生收縮，抵消了不同方向上由於光速差異，這樣就解釋了邁克耳孫-莫雷實驗的零結果。

數學形式

沿著快速加速的觀察者的世界線來看的時空。 豎直方向表示時間。水平方向表示距離，虛劃線是觀察者的時空軌跡（“世界線”）。圖的下四分之一表示觀察者可以看到的事件。上四分之一表示光錐- 將可以看到觀察者的事件點。小點是時空中的任意的事件。 世界線的斜率（從豎直方向的偏離）給出了相對於觀察者的速度。注意看時空的圖像隨著觀察者加速時的變化。洛倫茲提出洛倫茲變換是基於以太存在的前提的，然而以太被證實是不存在的，根據光速不變原理，相對於任何慣性參照系，光速都具有相同的數值。愛因斯坦據此提出了狹義相對論。在狹義相對論中，空間和時間並不相互獨立，而是一個統一的四維時空整體，不同慣性參照系之間的變換關係式與洛倫茲變換在數學表達式上是一致的，即： y' = y z' = z 其中x、y、z、t分別是慣性坐標系Σ下的坐標和時間，x'、y'、z'、t'分別是慣性坐標系Σ'下的坐標和時間。v是Σ'坐標系相對於Σ坐標系的運動速度，方向沿x軸。 由狹義相對性原理，只需在上述洛倫茲變換中把v變成-v，x'、y'、z'、t'分別與x、y、z、t互換，就得到洛倫茲變換的反變換式： y = y' z = z' 洛倫茲變換是高速運動的巨觀物體在不同慣性參照系之間進行坐標和時間變換的基本規律。當相對速度v遠遠小於光速c時，洛倫茲變換退化為經典力學中的伽利略變換: x' = x-vt y' = y z' = z t' = t 所以，狹義相對論與經典力學並不矛盾，狹義相對論將經典力學擴展到了巨觀物體在一切運動速度下的普遍情況，經典力學只是相對論在低速時（v遠遠小於c）的近似情況。一般在處理運動速度不太高的物體時（如天體力學中計算行星的運行軌道），不需考慮到相對論效應，因為用相對論進行處理時計算往往變得非常繁瑣，而結果與經典情況相差不大。當處理高速運動的物理時，比如高能加速器中的電子，則必須要考慮相對論效應對結果帶來的修正。

四維形式

在狹義相對論中，某一事件可以用帶有四個參數的時空坐標（t,x,y,z）來描述，洛倫茲變換就是在不同慣性參考系中觀察同一事件的時空坐標變換關係，並且是滿足四維空間中間隔（s2=c2t2-x2-y2-z2）不變的變換。如果將x、y、z記成x1、x2、x3，並且令： x0 = ct 那么洛倫茲變換可以寫成如下的矩陣形式： 其中 ，稱為洛倫茲因子。

推論

由洛倫茲變換可以得到相對論的速度變換公式。設ux、uy、uz分別是物體在慣性坐標系Σ下沿各坐標軸的速度分量，u'x、u'y、u'z分別是物體在慣性坐標系Σ'下沿各坐標軸的速度分量，那么： 如果把v變成-v，ux、uy、uz分別與u'x、u'y、u'z互換，就得到上述速度變換的反變換式。 當速度v遠小於光速時，上述速度變換式退化為經典的速度變換式： u'x = ux − v u'y = uy u'z = uz

幾何理解

在平面幾何，一個矢量在某座標系統為(x,y)。如果我們在原點以θ旋轉原本座標軸做新的座標系統。在新系統內，同一矢量座標為:： 當然雖然矢量的座標在不同座標系統裡面不一樣，它的長度不變：。 另外如果我們以另外角度φ再旋轉一次，那矢量新座標和原座標關係為： 即：連續的轉角可加。 我們可以相似般把洛倫茲變換看成一種類似的座標旋轉。定義快度w = arctanhβ。那以上洛倫茲變換公式可以寫成（略去不受影響的x2和x3）： 也就是說：洛倫茲變換數學上等同於雙曲角旋轉。此座標“旋轉”中類似“長度”的不變數是： 。 如果我們先轉換到相對原本叄考系統速度為β21的叄考系統，然後再轉換到相對第二個叄考系統速度為β32的叄考系統。令w21 = arctanhβ21、w32 = arctanhβ32。那么在原本叄考系統座標為(x0,x1)的事件在兩次轉換後叄考系統內座標為： 所以我們發現洛倫茲變換里直接相加的數量不是速度β而是這個類似角度的w = arctanhβ。日常經驗我們使用的伽利略變換把速度直接相加減。這是因為在速度遠小於光速（）的時候w近似速度。 當然我們也可以直接從原本的叄考系統直接轉換到最後的叄考系統。如果兩者速度為β31，那么 因此得到相對論速率加法公式。 設兩個慣性係為S系和S′系，它們相應的笛卡爾坐標軸彼此平行 ，S′系相對於S系沿x方向運動 ，速度為v，且當t=t′=0時，S′系與S系的坐標原點重合，則事件在這兩個慣性系的時空坐標之間 的洛倫茲變換為 x′=γ（x－vt），y′=y，z′=z，t′=γ（t－vx/c2），式中γ=（1－v2/c2）-1/2；c為真空中的光速 。不同慣性系中的物理定律必須在洛倫茲變換下保持形式不變。