基本介紹
- 中文名:加法單位元
- 屬性:數學名詞
- 常用單位:0
- 推理公式:e + n = n = n + e.
基本例子,形式定義,更多例子,證明,加法單位元在一個群里是唯一的,加法和乘法單位元在一個非平凡環里是不同的,
基本例子
初等數學中所熟悉的加法單位元為0。如:
5 + 0 = 5 = 0 + 5.在自然數N和其所有的父集(整數Z、有理數Q、實數R、複數C)內,其加法單位元皆為0。所以對於任何一個數n,n + 0 = n = 0 + n.
形式定義
更多例子
在一個群里,加法單位元即是這個群的單位元,通常標記做0,並且是唯一的(見下面證明)。一個環或一個體也會是一個在加法運算下的群,因此它們也會有一個唯一的加法單位元0。它被定義必須和乘法單位元1不同,若環(或體)有兩個以上的元素時。如果加法單位元和乘法單位元是同一個的話,這個環則會是當然的(見下面證明)。在一個於群G上的m乘n階矩陣所組成的群Mm×n(G)里,其加法單位元標記為0,且會是個其元素都是在G內的單位元0的m乘n矩陣。例如,在一個於整數上的2階方陣M2(Z)里,其加法單位元為.
證明
加法單位元在一個群里是唯一的
令(G,+)是一個群,且設0和0'是在G內的兩個加法單位元,則對於所有在G內的g而言,
0 + g = g = g + 0 且 0' + g = g = g + 0'.由上可得
0 + (0') = (0') = (0') + 0 及 0' + (0) = (0) = (0) + 0'故可證明 0 = 0'。