分形插值

分形插值是一種構造分形曲線的方法，是由M.F.Barnsley在疊代函式系統基礎上提出來的。原理是對一組給定的插值點構造相應的IFS，使IFS的吸引子為通過這組插值點的函式圖。

基本介紹

• 中文名：分形插值
• 作用：構造分形曲線
• 提出：M.F.Barnsley
• 性質：方法

手段

分形插值函式為擬合實驗數據提供了新的手段。自Euclid幾何創立以來，人們就試圖把幾何體寫成數學語言。隨著基本初等函式如冪函式、指數函式、對數函式和三解函式等的陸續出現，傳統數學基本解決了幾何體的描述問題。但對大量存在的離散數據，這些基本初等函式又變得無可奈何。儘管有Newton插值、Lagrange插值和String插值等方法面世，但都難以解決幾何體的低階全局光滑問題，直到20世紀60年代“樣條函式插值”的提出與套用，一個用低次多項式解決全局光滑性的問題才算有了一個圓滿的解決。可見幾百年來，數學家對插值問題的解決是朝著愈來愈光滑的方向發展的。也就是說，大家熟知的傳統插值方法，通常把實驗數據點畫在圖紙上，然後用“直線段”連線各測量值，或用多項式插值和樣條插值來擬合這組數據。不管用什麼方法，它們都是強調光滑性，即當圖充分放大後局部看上去仍呈直線段，這用來描繪極不規則的曲線就很不理想了。如同Euclid幾何中的圓、橢圓、雙曲線一樣，儘管疊代函式系統等數學語言可描述出分形幾何的基本圖形，如Koch曲線、Cantor集、Sierpinski三角形等，但對山脈、雲彩、森林的輪廓等這些大自然幾何體以及每分鐘都在變化的股票市場是非常難以得到它們的數學語言表達式的。分形幾何實際上是大自然幾何，分形插值函式則利用大自然中呈現出來的許多現象具有精細的自相似結構這個特性來擬合波動性很強的曲線，現已證明這是一個十分有效的工具。

分形插值函式與初等函式一樣也具有其本身的幾何特徵，它也能用“公式”來表示，能快速地被計算出來。它們之間的主要差別是分形插值函式的分形特徵，如它有非整的維數，並且是針對集合而非針對點的。