凸規劃

若最最佳化問題的目標函式為凸函式，不等式約束函式也為凸函式，等式約束函式是仿射的，則稱該最最佳化問題為凸規劃。凸規劃的可行域為凸集，因而凸規劃的局部最優解就是它的全局最優解。當凸規劃的目標函式為嚴格凸函式時，若存在最優解，則這個最優解一定是唯一的最優解。

基本介紹

• 中文名：凸規劃
• 外文名：Convex Programming

凸規劃標準形

定義

設及均為上的凸函式，則稱最最佳化問題

為凸規劃。

與一般的最最佳化問題標準形式相比，凸規劃有三點附加條件：

（1）目標函式必須是凸函式；

（2）不等式約束函式必須是凸函式，不等式組成的區域為凸集；

（3）等式約束函式必須是仿射的（即線性函式和常函式的和函式）。

因此我們得出以下結論：凸規劃的可行域是凸集。因為每個約束條件的點集都是凸集，它們的交集也是凸集。

凸規劃的性質

（1）凸規劃問題的任一局部極小點是全局極小點，且全體局部極小點的幾何為凸集；

（2）當凸規劃的目標函式為嚴格凸函式時，若存在最優解，則這個最優解一定是唯一的最優解。

最優性條件

設凸規劃問題中的目標函式是可微的，記可行域為，即

則是最優點的充分必要條件是對任意的，有