具有對稱結構的時滯微分系統的等變分支

《具有對稱結構的時滯微分系統的等變分支》是依託長沙理工大學，由胡海軍擔任項目負責人的青年科學基金項目。

基本介紹

• 中文名：具有對稱結構的時滯微分系統的等變分支
• 項目類別：青年科學基金項目
• 項目負責人：胡海軍
• 依託單位：長沙理工大學

項目摘要

隨著非線性動力學的發展，分支理論及套用近年來成為一個活躍的研究熱點。等變分支是時滯微分方程分支研究中具有挑戰性的前沿課題。本項目主要研究以下內容：(1)等變Hopf分支。針對具有不同對稱結構的時滯系統，利用等變度理論和方法研究等變Hopf分支；通過編程計算系統的等變規範型討論等變分支方向、等變分支周期解穩定性；運用全局Hopf 分支定理證明分支周期解的全局存在性。(2)等變雙Hopf分支。針對系統出現的強共振雙Hopf分支，放棄傳統的計算規範型的方法，將李群表示論與多尺度方法相結合研究等變雙Hopf分支。(3)耦合方式對系統的動力學性態的影響。將 “廣群”(groupoid)替代“群”概念分析網路結構對動力學影響的理論框架推廣到泛函微分方程上，研究具時滯的部分對稱耦合模型的Hopf分支。 本項目的研究不僅可促進相關研究領域的進一步發展，而且將為等變分支理論的套用提供更為廣闊的空間和前景。

結題摘要

對稱性破缺與等變分支研究是近年來微分方程及其套用領域一個非常活躍的熱點。本項目基於前期研究工作，綜合運用等變度理論、李群表示論、中心流形約化方法、規範型計算方法以及多尺度方法就具有對稱結構的時滯微分系統的Hopf分支、雙Hopf分支，以及耦合方式對其動力學性質的影響等重要問題展開研究。第一，我們給出了兩類具對稱結構的時滯微分系統發生Hopf分支的充分性條件，通過運用規範型理論和中心流形定理，討論了分支周期解的性質，包括分支方向、周期解的穩定性。第二，我們特別就系統出現的雙Hopf分支進行了深入研究，分別用Faria -Magalhaes發展的規範型計算方法與多尺度方法計算其規範型。第三，我們通過數值模擬驗證了所有理論結果的正確性。此外，受鞍結點分支和異宿分支理論和思想的啟發，我們尋找到一個構造下解的途徑，從而運用單調方法證明了一類具有移動棲息地的Fish-KPP方程滅絕波的存在性，補充了現有文獻關於Fish-KPP方程的研究結果。到目前為止，部分研究結果已分別在國際權威刊物 Neurocomputing 和 Proceedings of American Mathematical Society上發表，其它研究結果已基本整理，正待發表。項目研究不但可促進時滯微分方程分支理論的進一步發展，而且對技術套用領域如神經網路、電子工程、生物化學等也有重要的指導意義。