共軛因式

設S是含有根式的已知表達式，若存在一個不恆等於零的表達式M，使乘積SM不含根式，則稱M為S的共軛因式(conjugate factors)，S可以看作是M的共軛因式。一個式子的共軛因式不是唯一的，事實上，若M是S的共軛因式，則SⁿMⁿ⁺¹(n是自然數)也是S的共軛因式。

基本介紹

• 中文名：共軛因式
• 外文名：conjugate factors
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：初等代數(根式、指數與對數)
• 別稱：有理化因式、有理化因子
• 簡介：乘積為有理式的兩個無理式

基本介紹

共軛因式亦稱有理化因式、有理化因子，指乘積為有理式的兩個無理式。若兩個含有根式的代數式S與M的乘積SM是有理式，則它們互稱共軛因式。例如，式子 (a>0，b>0)的共軛因式是 ，因為 。一個式子的共軛因式乘以一個有理式仍是這個式子的共軛因式，所以，一個式子的共軛因式不是惟一的。

求共軛因式的方法

常用的求共軛因式的方法如下：

1.對於 ，可取 作為共軛因式。

2.對於 ，可取

作為共軛因式。

3.對於 ，可取

作為共軛因式。

4.有時對共軛因式的尋求要逐步完成。

例如對於

則應取

可得

可再取

於是 的共軛因式為

5.待定係數法。

例如，求 的共軛因式，可取

係數b_i(i=0，1，2，…，n-1)由S·M為有理式這一條件確定。

6.對於給定的含有根式的代數式，如果可以看成是某一根式的多項式P(x)，則可利用互質多項式P(x)和Q(x)的性質，輾轉相除，可得多項式M(x)與N(x)，使得M(x)P(x)+N(x)Q(x)=1，則M(x)即為P(x)的共軛因式。

7.對於表達式

(此處p， q， …， r是小於n的自然數)， 可取

求共軛因式常用於根式運算的使分母(或分子)有理化的過程中。中國的《九章算術》“少廣”章中敘述有：“若母不可開者，又以母乘定實，乃開之，訖，令如母而一。”譯為現代算術，即

足見其已有了有理化分母的思想，秦九韶在所著《數書九章》中，也運用了有理化方法。