兩平面平行

兩平面平行(parallelism between two planes)是兩平面間的一種位置關係，如果兩個平面沒有公共點，則稱這兩個平面有平行位置關係，簡稱兩平面相互平行，一個平面稱為另一個平面的平行平面。

基本介紹

• 中文名：兩平面平行
• 外文名：parallelism between two planes
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：立體幾何
• 特點：兩個平面沒有公共點

兩平面平行的定義

兩平面平行是兩平面間的一種位置關係，如果兩個平面沒有公共點，我們說這兩個平面互相平行，一個平面稱為另一個平面的平行平面。

兩平面平行的性質定理

定理1　兩平面平行，其中一個平面內的直線必平行於另一個平面。

定理2　如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

定理3　一條直線垂直於兩個平行平面中的一個平面，它也垂直於另一個平面。

例　如圖1，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N，P分別是C₁C，B₁C₁，C₁D₁的中點，求證：

(1)AP⊥MN；

(2)平面MNP∥平面A₁BD。

圖1

證明　(1)連結BC₁，B₁C，則B₁C⊥BC₁，BC₁是AP在面BB₁C₁C上的射影，

∴　AP⊥B₁C.

又B₁C∥MN，

∴　AP⊥MN.

(2)連結B₁D₁.

∵　P，N分別是D₁C₁，B₁C₁的中點，

∴　PN∥B₁D₁.又B₁D₁∥BD，

∴　PN∥BD.

又PN不在平面A₁BD上，

∴　PN∥平面A₁BD.

同理，MN∥平面A₁BD.

又PN∩MN=N，

∴　平面PMN∥平面A₁BD。

說明　將空間問題轉化為平面問題，是解決立體幾何問題的重要策略.解決這類問題關鍵在於選擇或添加適當的平面或線。由於M，N，P都為中點，故添加B₁C，BC₁作為聯繫的橋樑。

兩平面平行的判定

設兩平面的方程分別為

其法線向量分別為和。

兩平面平行的充要條件：

即

用分量來表示為：

亦即

或

若，即，則平面的方程為：

即：

與平面β的方程一致，所以兩平面重合，由此我們看出：

兩平面平行的充要條件是

兩平面重合的充要條件是

兩平面相交

即不平行，即

這時兩平面相交時所得直線的方程可用方程組

來表示。

圖2

為了確定起見，規定兩平面組成的二面角中，不大於直角的為兩平面的交角，記作θ，如圖2，所成的夾角θ就是兩法線向量的夾角θ，即(圖2)，且

特別地，當時，， 故又可以得兩平面互相垂直的充要條件為