全測地子流形

設S是Riemann流形M的子流形，p為S中的一點，如果過p點與S相切的M的測地線也是S中的曲線，則稱S在p點是測地的。若子流形S中每一點都是測地的，則稱S為M的全測地子流形。也就是說，若p∈S，X∈S_p⊆M_p，γ(t)是以X為切向量，p為起點的M中的測地線，則有t₀>0，使得|t|<t₀時，γ(t)∈S。

基本介紹

• 中文名：全測地子流
• 外文名：totally geodesic submanifold
• 所屬學科：數學
• 所屬領域：微分幾何學(子流形幾何)
• 相關概念：黎曼流形、測地線等

基本介紹

全測地子流(totally geodesic submanifold)是一類子流形，指第二基本形式恆為零的子流形。設M為黎曼流形的黎曼子流形，則M為的全測地子流形的另一等價條件是：中的任意一條與M相切的測地線位於M中，且也為M的測地線。通常的包含嵌入都是全測地子流形的例子。全測地子流形的例子是十分稀少的，一般黎曼流形幾乎都不具有任何全測地子流形，黎曼流形的一個等距變換的固定點集是一個全測地子流形，具正里奇曲率流形的任意兩個緊緻全測地超曲面必相交。

相關結論

關於全測地子流形有下面結果。

1. S是M的全測地子流形，則S 的測地線也是M的測地線。

2. Riemann流形M的連通完備子流形S是全測地子流形若且唯若沿S中曲線的M的平行移動總將S的切向量移動到S的切向量，即若則

3. M為單連通完備Riemann流形，且曲率為負。S 為M 的閉全測地子流形，則與S垂直於p的M的測地線構成M的一個子流形且

時，

4. S為Riemann流形M的全測地子流形，如果M是局部對稱的，則S 也是局部對稱的。

事實上，S上的每個點的( 中心)測地對稱是M在該點的(中心)測地對稱在S 上的限制。

5. 設S是M的子流形，使得時有為中元素，記為於是有。

又若M有Riemann結構為在S上誘導的Riemann結構，為對應的的Riemann聯絡，又均有則有

又設S為M的全測地子流形，則有。

又若分別為的曲率張量，則

而且，對上的一個二維子空間，關於M與S的截曲率是一樣的。

對稱空間的全測地子流形

定理 設是Riemann對稱空間，又對應Cartan分解為為的切空間，S是M的子流形，S在處切空間為於是有

1) 若S為M的全測地子流形，則有

滿足上述關係，稱為的一個李三系。

2) 若中子空間滿足(1)，則是M的全測地子流形。