全微分方程

全微分方程，又稱恰當方程。若存在一個二元函式u(x,y)使得方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的左端為全微分，即M(x,y)dx+N(x,y)dy=du(x,y)，則稱其為全微分方程。全微分方程的充分必要條件為∂M/∂y=∂N/∂x。為了求出全微分方程的原函式，可以採用不定積分法和分組法，對於不是全微分方程，也可以藉助積分因子使其成為全微分方程，再通過以上方法求解。

基本介紹

• 中文名：全微分方程
• 外文名：complete differential equation
• 別名：恰當方程
• 判別：充要條件∂M/∂y=∂N/∂x
• 求解方法：不定積分法和分組法
• 領域：微積分

定義

一階顯式方程

可以改寫成關於 和 的對稱形式

(1)

這種形式有時便於求解。這裡 和 在某一矩形域 內是 的連續函式，且具有連續的一階偏導數。

如果存在一個二元函式 使得該方程的左端恰好是它的全微分，即有

則稱其為全微分方程（或恰當方程），而函式 是 的原函式。

全微分方程的通積分形式

當方程 是全微分方程時，它可寫成 ，於是其通積分就是

(2)

其中 為任意常數。

事實上，設 是原方程的解，則有

即有

對 積分得到

這表明滿足方程(2)。

反之，設是函式方程(2)的解，即它是由(2)所確定的隱函式，則有

對微分得到

即

這表明滿足方程(1)。

因此全微分方程的通積分形式是。

根據上述表述，為了求解方程(1)，只要求出的一個原函式，就可得到方程(1)的通積分(2)。

全微分方程的判別與求解

①如何判別方程(1)為全微分方程，這個問題在數學內早有結論，即

方程(1)是全微分方程的充分必要條件是

在矩形域內成立。

②如果已判定方程(1)為全微分方程，如何求出相應全微分的原函式，這個問題在數學分析中也已經得到解決，最常用的方法是不定積分法。

因為所求的原函式適應方程組

首先由第一個式子出發，把看成參數，兩邊對積分，得

其中是的任意可微函式，而且要選擇適當的，使滿足第二個式子。為此，將其代入第二個等式得

即

兩邊對積分，即可得到，再代回之前的積分，即可得到。

但對於某些特殊的全微分方程，為了求出相應全微分的原函式，還可以採用相對簡單的“分組湊全微分”的方法，即把方程的左端各項進行重新組合，使每個組的原函式容易觀察得出，從而可以寫出。

而對於不是全微分的方程，可以採用積分因子使其成為全微分方程，再根據以上方法求解。