基本介紹
- 中文名:全微分方程
- 外文名:complete differential equation
- 別名:恰當方程
- 判別:充要條件∂M/∂y=∂N/∂x
- 求解方法:不定積分法和分組法
- 領域:微積分
定義,全微分方程的通積分形式,全微分方程的判別與求解,
定義
一階顯式方程




如果存在一個二元函式
使得該方程的左端恰好是它的全微分,即有

全微分方程的通積分形式
當方程
是全微分方程時,它可寫成
,於是其通積分就是



其中
為任意常數。

事實上,設
是原方程的解,則有





這表明
滿足方程(2)。

反之,設
是函式方程(2)的解,即它是由(2)所確定的隱函式,則有




即

這表明
滿足方程(1)。

因此全微分方程的通積分形式是
。

根據上述表述,為了求解方程(1),只要求出
的一個原函式
,就可得到方程(1)的通積分(2)。


全微分方程的判別與求解
①如何判別方程(1)為全微分方程,這個問題在數學內早有結論,即
方程(1)是全微分方程的充分必要條件是


②如果已判定方程(1)為全微分方程,如何求出相應全微分的原函式
,這個問題在數學分析中也已經得到解決,最常用的方法是不定積分法。

因為所求的原函式
適應方程組


首先由第一個式子出發,把
看成參數,兩邊對
積分,得












但對於某些特殊的全微分方程,為了求出相應全微分的原函式,還可以採用相對簡單的“分組湊全微分”的方法,即把方程的左端各項進行重新組合,使每個組的原函式容易觀察得出,從而可以寫出
。

而對於不是全微分的方程,可以採用積分因子使其成為全微分方程,再根據以上方法求解。