偽外接圓

定義

過三角形的兩個頂點，且與三角形的內切圓相切的圓稱為三角形的偽外接圓。

如圖1-1，該圖中的綠圓，即為△ABC的其中一個偽外接圓。我們將它記作“△ABC的A-偽外接圓”。

1、作出內切圓（I），設（I）在BC上的切點為X

2、過B、C任作一圓，交（I）於D、E

3、延長DE 交BC於F

4、以F為圓心，FX為半徑畫弧，交（I）於J

5、作圓(BJC)，則該圓即為△ABC的A-偽外接圓

顯然有：△IJF ≌ △IXF，故∠FJI =∠FXI = 90°，從而得到FJ是（I）的切線

而根據圓冪定理知：FJ² = FE·FD = FC·FB

即 FC/FJ = FJ/FB，結合∠JFC =∠JFB，即得 △FJC ∽ △FBJ

於是，有：∠FJC =∠FBJ =∠CBJ

上式說明，FJ是圓(BJC)的切線

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所以（I）、圓(BJC)在點J處的切線重合，說明（I）、圓(BJC)在J點相切，證畢

..

註：很顯然，每一個三角形都有三個偽外接圓。

基本性質

已知：△ABC的內切圓（I）切BC於D，A-偽外接圓切（I）於K，R是△ABC的 A-旁心，則K、D、R共線。

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證明：

連線KC 交DE、（I）於T、H，連線KB 交DF、（I）於S、G

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由於K是（I）、圓(BKC)的位似中心，而G、B，H、C是位似對應點

故 GH // BC ⇒ （BK / BG） = （CK / CH）……①

而 BD、BF是切線，故DKFG是調和四邊形 ⇒ B、G、S、K成調和點列

所以（BK / BG） = （SK / SG）……②，同理（CK / CH） = （TK / TH）……③

由①、②、③式知：（SK / SG） = （TK / TH），即 ST // GH // BC

而∠FDB = 90°－∠IBC = ∠RBC ⇒ DS // BR，同理亦有DT // CR

因此 △DST、△RBC位似 ⇒ BS、RD、ST共點

即 K、D、R共線

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注①：實際上，該性質也給出了偽外接圓的另一種更加簡便的作圖方法。

注②：我們還可以得到：直線DR平分A在BC上的高，圓(BKC)通過DR的中點等諸多性質，證明比較容易，留給讀者。