倒代換是一種通過變數代換x=1/t降低問題難度或化簡解題過程的數學解題方法。
倒代換法常用在極限問題和積分問題的求解過程中。
基本介紹
- 中文名:倒代換
- 外文名:sub back
- 類型:一種數學的解題方法
- 定義:變數代換x=1/t
- 性質:數學名詞
定義,求極限,舉例,解積分問題,
定義
求極限
舉例
求極限
。
![](/img/8/5d1/869d4b23045f5833abc8898e3037.jpg)
解 作倒代換
,原式
,使用洛必達法則可得到
![](/img/9/289/d3789b96e525ffeacbcc67e45508.jpg)
![](/img/7/e96/48f57db5bfda20ca924a60b1672a.jpg)
![](/img/b/204/f3d99d0f383629c73acc9875b005.jpg)
如果使用麥克勞林展開式,則計算更為簡單
![](/img/9/f92/54e5f2e71b79fbabba0d84f049fe.jpg)
解積分問題
不定積分問題
例求不定積分
。
![](/img/6/3e8/6a2bada0eb2e36d30827f1795ee2.jpg)
解作倒代換
,
![](/img/9/289/d3789b96e525ffeacbcc67e45508.jpg)
原式
。
![](/img/5/87e/b184d7cb376762d0e695a7f6d017.jpg)
定積分問題
例1求定積分
。
![](/img/c/060/4baf55e08ed3ab98568633329889.jpg)
解作倒代換
,
![](/img/9/289/d3789b96e525ffeacbcc67e45508.jpg)
原式
。
![](/img/1/66f/d76977b4ee381bfd129074fdd9ef.jpg)
例2 對於任意實數
,和任一正實數
,證明
。
![](/img/7/a9c/dd74d8b3411959dc771265ef7594.jpg)
![](/img/7/abb/558f5e57a727d40cb3b2ad6a179d.jpg)
![](/img/7/e59/0a3bf9c3c3f4dab3ab80daeb056e.jpg)
證明 記
,則在倒代換
下,有
![](/img/6/f79/c192f897eece55bbdc11282c00de.jpg)
![](/img/9/289/d3789b96e525ffeacbcc67e45508.jpg)
![](/img/d/f53/ca9bbe314f3c211880808d8d03f5.jpg)
可得
,證畢。
![](/img/6/600/fc8daa893edcb1f03e3f713585d9.jpg)
廣義積分問題
在[
)
或(
]
上有界函式的廣義積分問題可通過倒代換
變為有界區間上的定積分問題。這樣至少為廣義積分的數值近似計算創造了條件。
![](/img/6/6f1/7a4971c038f9d0e0e8a2af8bd07c.jpg)
![](/img/7/ace/32c3e0f2ab9b084881fdcdbf1104.jpg)
![](/img/f/9e7/9bdafe69eac91e61665a565d095b.jpg)
![](/img/5/afd/135b9eb80dfcc9ae623870036954.jpg)
![](/img/9/289/d3789b96e525ffeacbcc67e45508.jpg)
例1求
。
![](/img/8/c2b/b92128769ba495601d1940ec6492.jpg)
解作倒代換
,
![](/img/9/289/d3789b96e525ffeacbcc67e45508.jpg)
原式
。
![](/img/3/a8a/d9e768671363961c800fe3eefdb1.jpg)
例2 通過換元法將廣義積分
轉化為適宜於數值計算的形式
![](/img/3/75f/080563fe16984c2ac3bd922a5289.jpg)
解作倒代換
,則
,
![](/img/9/289/d3789b96e525ffeacbcc67e45508.jpg)
![](/img/2/22c/5180922e0619d595e46bf4c76164.jpg)
對上式第二項作倒代換
,可得
,,
![](/img/9/289/d3789b96e525ffeacbcc67e45508.jpg)
![](/img/a/57c/9b5a70dee151b472e08d494f2bc5.jpg)
這樣就得到了原廣義積分適宜於數值計算的形式
![](/img/3/cbd/e158c2eb341056b01a6685adf558.jpg)