伯努利原理

丹尼爾·伯努利在1726年提出了“伯努利原理”。這是在流體力學的連續介質理論方程建立之前，水力學所採用的基本原理，其實質是流體的機械能守恆。即：動能+重力勢能+壓力勢能=常數。其最為著名的推論為：等高流動時，流速大，壓力就小。

伯努利原理往往被表述為p+1/2ρv²+ρgh=C，這個式子被稱為伯努利方程。式中p為流體中某點的壓強，v為流體該點的流速，ρ為流體密度，g為重力加速度，h為該點所在高度，C是一個常量。它也可以被表述為p₁+1/2ρv₁²+ρgh₁=p₂+1/2ρv₂²+ρgh₂。

需要注意的是，由於伯努利方程是由機械能守恆推導出的，所以它僅適用於粘度可以忽略、不可被壓縮的理想流體。

基本介紹

• 中文名：伯努利原理
• 外文名：Bernoulli's principle
• 表達式：p+1/2ρv^2+ρgh=C
• 提出者：丹尼爾·伯努利
• 提出時間：1726年
• 套用學科：流體力學
• 適用領域範圍：不同類型的流體流動

方程式

原表達形式

適於理想流體（不存在摩擦阻力）。式中各項分別表示單位流體的動能、位能、靜壓能之差。

假設條件

使用伯努利定律必須符合以下假設，方可使用；如沒完全符合以下假設，所求的解也是近似值。

• 定常流：在流動系統中，流體在任何一點之性質不隨時間改變。
• 不可壓縮流：密度為常數，在流體為氣體適用於馬赫數(Ma)<0.3。
• 無摩擦流：摩擦效應可忽略，忽略黏滯性效應。
• 流體沿著流線流動：流體元素沿著流線而流動，流線間彼此是不相交的。

推導過程

考慮一符合上述假設的流體，如圖所示：

流體因受力所得的能量：

流體因引力做功所損失的能量：

流體所得的動能可以改寫為：

根據能量守恆定律，流體因受力所得的能量+流體因引力做功所損失的能量=流體所得的動能。

對後可得

詳細介紹

丹尼爾·伯努利在1726年首先提出時的內容就是：在水流或氣流里，如果速度小，壓強就大，如果速度大，壓強就小。這個原理當然有一定的限制，但是在這裡我們不談它。下面是一些通俗些的解釋：

向AB管吹進空氣。如果管的切面小（像a處），空氣的速度就大；而在切面大的地方（像b處），空氣的速度就小。在速度大的地方壓力小，速度小的地方壓力大。因為a處的空氣壓力小，所以C管里的液體就上升；同時b處的比較大的空氣壓力使D管里的液體下降。在圖215中，T管是固定在鐵制的圓盤DD上的；空氣從T管里出來以後，還要擦過另外一個跟T管不相連的圓盤dd。兩個圓盤之間的空氣的流速很大，但是這個速度越接近盤邊降低得越快，因為氣流從兩盤之間流出來，切面在迅速加大，再加上慣性在逐漸被克服，但是圓盤四周的空氣壓力是很大的，因為這裡的氣流速度小；而圓盤之間的空氣壓力卻很小，因為這裡的氣流速度大。因此圓盤四周的空氣使圓盤互相接近的作用比兩圓盤之間的氣流要想推開圓盤的作用大；結果是，從T管里吹出的氣流越強，圓盤dd被吸向圓盤DD的力也越大。

圖216和圖215相似，所不同的只是用了水。如果圓盤DD的邊緣是向上彎曲的，那么在圓盤DD上迅速流動著的水會從原來比較低的水面自己上升到跟水槽里的靜水面一般高。因此圓盤下面的靜水就比圓盤上面的動水有更高的壓力，結果就使圓盤上升。軸P的用途是不讓圓盤向旁邊移動。

圖217畫的是一個飄浮在氣流里的很輕的小球。氣流衝擊著小球，不讓它落下來。當小球一跳出氣流，周圍的空氣就會把它推回到氣流里，因為周圍的空氣速度小，壓力大，而氣流里的空氣速度大，壓力小。

圖218中的兩艘船在靜水裡並排航行著，或者是並排地停在流動著的水裡。兩艘船之間的水面比較窄，所以這裡的水的流速就比兩船外側的水的流速高，壓力比兩船外側的小。結果這兩艘船就會被圍著船的壓力比較高的水擠在一起。海員們都很知道兩艘並排駛著的船會互相強烈地吸引。

如果兩艘船並排前進，而其中一艘稍微落後，像圖219所畫的那樣，那情況就會更加嚴重。使兩艘船接近的兩個力F和F，會使船身轉向，並且船B轉向船A的力更大。在這種情況下，撞船是免不了的，因為舵已經來不及改變船的方向。

在圖218中所說的這種現象，可以用下面的實驗來說明。把兩個很輕的橡皮球照圖220那樣吊著。如果你向兩球中間吹氣，它們就會彼此接近，並且互相碰撞。

配圖略。

套用舉例

套用舉例⒈

飛機為什麼能夠飛上天?因為機翼受到向上的升力。飛機飛行時機翼周圍空氣的流線分布是指機翼橫截面的形狀上下不對稱,機翼上方的流線密,流速大,下方的流線疏,流速小。由伯努利方程可知,機翼上方的壓強小,下方的壓強大。這樣就產生了作用在機翼上的方向的升力。

套用舉例⒉

噴霧器是利用流速大、壓強小的原理製成的。讓空氣從小孔迅速流出,小孔附近的壓強小,容器里液面上的空氣壓強大,液體就沿小孔下邊的細管升上來,從細管的上口流出後,空氣流的衝擊,被噴成霧狀。

套用舉例⒊

汽油發動機的化油器，與噴霧器的原理相同。化油器是向汽缸里供給燃料與空氣的混合物的裝置,構造原理是指當汽缸里的活塞做吸氣衝程時，空氣被吸入管內，在流經管的狹窄部分時流速大，壓強小，汽油就從安裝在狹窄部分的噴嘴流出，被噴成霧狀，形成油氣混合物進入汽缸。

套用舉例⒋

球類比賽中的“旋轉球”具有很大的威力。旋轉球和不轉球的飛行軌跡不同，是因為球的周圍空氣流動情況不同造成的。不轉球水平向左運動時周圍空氣的流線。球的上方和下方流線對稱，流速相同，上下不產生壓強差。再考慮球的旋轉，轉動軸通過球心且平行於地面，球逆時針旋轉。球旋轉時會帶動周圍得空氣跟著它一起旋轉，至使球的下方空氣的流速增大，上方的流速減小，球下方的流速大，壓強小，上方的流速小，壓強大。跟不轉球相比，旋轉球因為旋轉而受到向下的力，飛行軌跡要向下彎曲。

套用舉例⒌

表示桌球的上旋球，轉動軸垂直於球飛行的方向且與台面平行，球向逆時針方向旋轉。在相同的條件下，上旋球比不轉球的飛行弧度要低下旋球正好相反，球要向反方向旋轉，受到向上的力，比不轉球的飛行弧度要高。

套用舉例6.

一支筆筒，向大口這邊吹氣，小口上放一個小球，小球能在空氣中旋轉。

套用舉例7

在漏斗寬大處放一小球，用手抵住，在小口中吹氣同時放開，小球上方的流線密，流速大，下方的流線疏，流速小，故小球不會落下，只會在漏斗中跳躍。

套用舉例8

壓氣機：燃氣渦輪發動機中利用高速旋轉的葉片給空氣作功以提高空氣壓力的部件。在動葉中，氣體相對速度減小，壓力升高，靜葉中絕對速度減小，使氣體靜壓升高。

套用舉例9

泥沙運動時，由於水流流動，泥沙顆粒頂部和底部的流速不同，前者為水流的運動速度，後者則為顆粒間滲透水的流動速度，比水流的速度要小得多，根據伯努利定律，頂部流速高，壓力小，底部流速低，壓力高。這樣造成的壓差產生了上舉力。