對元素為實數或複數的 n×n矩陣A，求數λ和n維非零向量 x使Ax=λx，這樣的問題稱為代數特徵值問題,也稱矩陣特徵值問題，λ和 x分別稱為矩陣A的特徵值和特徵向量。
基本介紹
- 中文名：代數特徵值問題數值解法
- 課題：計算數學的主要研究課題
- 類型：初等下三角陣、豪斯霍爾德矩陣
- 分類：數學
主要解法,參考書目,
主要解法
代數特徵值問題的數值解法是計算數學的主要研究課題之一，它常出現於動力系統和結構系統的振動問題中。在常微分方程和偏微分方程的數值分析中確定連續問題的近似特徵系，若用有限元方法或有限差分方法求解，最終也化成代數特徵值問題。此外，其他數值方法的理論分析，例如確定某些疊代法的收斂性條件和初值問題差分法的穩定性條件，以及討論計算過程對捨入誤差的穩定性問題等都與特徵值問題有密切聯繫。求解矩陣特徵值問題已有不少有效而可靠的方法。
矩陣A的特徵值是它的特徵多項式Pn(λ)呏det(λI-A)的根, 其中I為單位矩陣。但階數超過4的多項式一般不能用有限次運算求出根，因而特徵值問題的計算方法本質上是疊代性質的，基本上可分為向量疊代法和變換方法兩類。
向量疊代法是不破壞原矩陣A，而利用A對某些向量作運算產生疊代向量的求解方法，多用來求矩陣的部分極端特徵值和相應的特徵向量，特別適用於高階稀疏矩陣。乘冪法、反冪法都屬此類，隆措什方法也常作為疊代法使用。
變換方法是利用一系列特殊的變換矩陣（初等下三角陣、豪斯霍爾德矩陣、平面旋轉矩陣等）,從矩陣A出發逐次進行相似變換，使變換後的矩陣序列趨於容易求得特徵值的特殊形式的矩陣（對角陣、三角陣、擬三角陣等）；多用於求解全部特徵值問題，其優點是收斂速度快，計算結果可靠，但由於原矩陣A被破壞，當A是稀疏矩陣時，在計算過程中很難保持它的稀疏性，因而大多數變換方法只適於求解中小規模稠密矩陣的全部特徵值問題。雅可比方法、吉文斯－豪斯霍爾德方法以及LR方法、QR方法等都屬此類。
乘冪法計算矩陣的按模最大的特徵值及對應特徵向量的一種向量疊代法。設 A為具有線性初等因子的矩陣，它的n 個線性無關的特徵向量是ui(i=1,2,…,n)，特徵值排列次序滿足
的非線性特徵值問題，當用線性化方法求解時，最終也歸為求解一系列一次廣義特徵值問題。對於一次廣義特徵值問題Ax=λBx，當B非奇異時,可化為通常特徵值問題(BA)x=λx，當A、B對稱，且B正定時,可化為對稱特徵值問題(UAU)(Ux)=λ(Ux)，其中U是B 的喬萊斯基分解B=UU中的上三角陣。利用化為通常特徵值問題來求解一次廣義特徵值問題有時是很有效的，但有下列缺點：①當A和B是稀疏矩陣，特別是帶形矩陣時，約化後的矩陣BA或 UAU一般是稠密的；②當B關於求逆的性態很差時,直接約化會帶來很大誤差。對一次廣義特徵值問題已發展了不少其他有效解法而不必預先化到通常特徵值問題，一類是鬆弛法，包括逐次超鬆弛法、逐次坐標超鬆弛法和共軛梯度法等；另一類是變換方法,包括廣義雅可比方法、廣義吉文斯方法以及QZ方法等，後者是QR方法對一次廣義特徵值問題的直接推廣。
參考書目
曹志浩著：《矩陣特徵值問題》，上海科學技術出版社，上海，1980。
