二次不等式

二次不等式

二次不等式(quadratic inequality)是一種整式不等式,指的是未知數的最高次數是二次的不等式,如x+y>4,常見的二次不等式有:一元二次不等式、二元二次不等式等,其中二元二次不等式可參考橢圓雙曲線拋物線等的表達式和圖像。

基本介紹

  • 中文名:二次不等式
  • 外文名:quadraticinequality
  • 所屬學科:數理科學
  • 別名:n元二次不等式
  • 特點:未知數的最高次數是二次的不等式
  • 釋義:未知數的最高次數是二次的不等式
定義,一元二次不等式,二元二次不等式,

定義

當不等式兩端是含有n個(n是自然數)未知數的整式時,則根據整式的次數分別叫做n元一次不等式,n元二次不等式等等。例如,不等式
是一元一次不等式,
是一元二次不等式;而不等式
則是二元二次不等式。二次不等式(quadratic inequality)是一種整式不等式,如果整式不等式的次數是2,則稱為二次不等式,若二次不等式有n個未知數,則稱為n元二次不等式。

一元二次不等式

定義:含有一個未知數,且的未知數的最高次數是二次的不等式叫作一元二次不等式。
一元二次不等式的解法:
(1)一元二次不等式
,設相應的一元二次方程
的兩根為
,一元二次不等式的解集
,一元二次不等式的解集為
,解集為R
(2)一元二次不等式
,設相應的一元二次方程
的兩根為
,一元二次不等式的解集為
,一元二次不等式的解集為
,一元二次不等式的解集為

二元二次不等式

定義1 一個二元二次方程表示一條圓錐曲線,為簡便計,這裡只研究具有標準形式(非退化)的圓錐曲線方程所對應的不等式表示的區域。
定義2 平面
上所有滿足二元二次不等式
(
不全為零)的點的集合,叫作這個二元二次不等式表示的區域,這裡“V”表示“>”,“<”,“≥”,“≤”四種中的一種。
定理1 在曲線
所劃分的每個平面開區域
內,多項式
或者永遠是正的,或者永遠是負的。
定理2 不等式
表示橢圓
的外部的開區域;不等式
表示橢圓的內部的開區域(圖1,圖2)。
二次不等式
圖1
二次不等式
圖2
定義3 設圓錐曲線方程c:
稱含有焦點的區域為圓錐曲線的內域,不含焦點的區域為圓錐曲線的外域 (證明過程請參考相應參考資料)。
定理3
在(1)的同一區域(或不同區域)的充要條件是
定理4
在圓錐曲線
的內域(或外域)的充要條件是
其中
推論:
的解域是橢圓
的內域(或外域);
的解域是雙曲線
的內域(或外域);
的解域是拋物線
的內域(或外域)。

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