二元一次方程組

二元一次方程是指含有兩個未知數（例如x和y），並且所含未知數的項的次數都是1的方程。兩個結合在一起的共含有兩個未知數的一次方程叫二元一次方程組。每個方程可化簡為ax+by=c的形式。

基本介紹

• 中文名：二元一次方程組
• 外文名：system of linear equations in two unknowns
• 適用範圍：數學計算
• 組成：共兩個未知數的一次方程組成
• 答案形式：三種
• 套用學科：數學

相關定義

二元一次方程

1．定義

如果一個方程含有兩個未知數，並且所含未知數的次數都為1，這樣的整式方程叫做二元一次方程。

使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解。

2．一般形式

ax+by+c=O(a，b≠0)。

3．求解方法

利用數的整除特性結合代入排除的方法去求解。(可利用數的尾數特性，也可利用數的奇偶性。)

二元一次方程組

1．定義

由兩個一次方程組成，並含有兩個未知數的方程組叫做二元一次方程組。

一般地，二元一次方程組的兩個二元一次方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。

2．一般形式

（其中a1,a2,b1,b2不同時為零）

3．求解方法

消元法、換元法、設參數法、圖像法、解向量法。

解法

消元法

1）代入消元法

用代入消元法的一般步驟是：

1.選一個係數比較簡單的方程進行變形，變成 y = ax +b 或 x = ay + b的形式；

2.將y = ax + b 或 x = ay + b代入另一個方程，消去一個未知數，從而將另一個方程變成一元一次方程；

3.解這個一元一次方程，求出 x 或 y 值；

4.將已求出的 x 或 y 值代入方程組中的任意一個方程（y = ax +b 或 x = ay + b），求出另一個未知數；

5。把求得的兩個未知數的值用大括弧聯立起來，這就是二元一次方程的解。

例：解方程組 ：x+y=5①

6x+13y=89②

解：由①得x=5-y③

把③代入②，得6(5-y)+13y=89

得 y=59/7

把y=59/7代入③，得x=5-59/7

得x=-24/7

∴ x=-24/7

y=59/7 為方程組的解

我們把這種通過“代入”消去一個未知數，從而求出方程組的解的方法叫做代入消元法（elimination by substitution)，簡稱代入法。

2）加減消元法

①在二元一次方程組中，若有同一個未知數的係數相同（或互為相反數），則可直接相減（或相加），消去一個未知數；

②在二元一次方程組中，若不存在①中的情況，可選擇一個適當的數去乘方程的兩邊，使其中一個未知數的係數相同（或互為相反數），再把方程兩邊分別相減（或相加），消去一個未知數，得到一元一次方程；

③解這個一元一次方程；

④將求出的一元一次方程的解代入原方程組係數比較簡單的方程，求另一個未知數的值；

⑤把求得的兩個未知數的值用大括弧聯立起來，這就是二元一次方程組的解。

用加減消元法解方程組的的第一種方法

例：解方程組：

x+y=9①

x-y=5②

解： ①+②

得： 2x=14

∴x=7

把x=7代入①

得： 7+y=9

∴y=2

∴方程組的解是:x=7

y=2

用加減消元法解方程組的的第二種方法

例：解方程組：

x+y=9①

x-y=5②

解： ①+②

得： 2x=14

∴x=7

①-②

得： 2y=4

∴y=2

∴方程組的解是:x=7

y=2

利用等式的性質使方程組中兩個方程中的某一個未知數前的係數的絕對值相等，然後把兩個方程相加（或相減），以消去這個未知數，使方程只含有一個未知數而得以求解，再代入方程組的其中一個方程。像這種解二元一次方程組的方法叫做加減消元法（elimination by addition-subtraction），簡稱加減法。

3）順序消元法

設二元一次方程組為：

ax+by=c (1)

dx+ey=f (2)

(a,b,d,e是x,y的係數）

若： ，則 得(3)式：

若(3)式中的 ，

則可得出求解二元一次方程組的公式：

以上過程稱為“順序消元法”，對於多元方程組，求解原理相同。

應為在求解過程中只有數之間的運算，而沒有整個式子的運算，因此這種方法被廣泛地用於計算機中。

換元法

例2，（x+5)+(y-4)=8

（x+5)-(y-4)=4

令x+5=m,y-4=n

原方程可寫為

m+n=8

m-n=4

解得m=6,n=2

所以x+5=6,y-4=2

所以x=1,y=6

特點：兩方程中都含有相同的代數式，如題中的x+5,y-4之類，換元後可簡化方程也是主要原因。

設參數法

例3，x:y=1:4

5x+6y=29

令x=t,y=4t

方程2可寫為：5t+6*4t=29

29t=29

t=1

所以x=1,y=4

二元一次方程組推導過程：

在最後式中只有一個y未知數，求出y值(y=?)，再代入a1x+b1y=k1;求出X。

例題：

y=(2-3/4*0)/(1-3/4*2)=2/(-1/2)=-4

3x-4=2或4x-8=0 x=2

推導簡易方程：

方程=0；未知數0；1

圖像法

二元一次方程組還可以用做圖像的方法，即將相應二元一次方程改寫成一次函式的表達式在同坐標系內畫出圖像，兩條直線的交點坐標即二元一次方程組的解。

解向量法

今有一二元一次方程組 ~~~①

設矩陣 ，向量 和 ，根據矩陣和向量的乘積定義，再對比方程組可知有以下關係：

~~~②

我們把②稱作方程組①的矩陣形式

而矩陣A可看做是一次線性變換p，即把向量 按照線性變換p變換之後得到向量 。因此解方程的過程可看做是尋找一個向量 ，使它經過線性變換p之後得到 。因為這是尋找一個向量的過程，所以又可以稱之為解向量。

從直觀上來理解上面那句話。例如把一個向量a逆時針旋轉30°得到一個新的向量b，那么把b順時針旋轉30°之後，一定可以得到a。再比如把一個向量a的橫縱坐標都擴大n倍之後得到向量b，那么把b的橫縱坐標都縮小n倍之後，一定也可以得到a。因此，在已知b以及線性變換關係的情況下求出的a就是方程的解。

矩陣A和它的逆矩陣 對應的線性變換互逆，所以解向量的過程相當於是尋找矩陣 的逆矩陣。而根據矩陣的性質，一個矩陣 有逆矩陣的充要條件是二階行列式 =ad-bc≠0.所以，方程組有解的充要條件就是ad-bc≠0.

根據逆矩陣的求法， 的逆矩陣為

∴ = =

即方程組的解為

該方法亦可作為二元一次方程組的求根公式。（前提是ad-bc≠0！）

例題：用解向量法解二元一次方程組

此題中，a=3，b=1，c=4，d=2，e=2，f=0，ad-bc=3*2-1*4=2≠0

∴方程組有解，解為

x=(de-bf)/(ad-bc)=(2*2-1*0)/2=2

y=(af-ce)/(ad-bc)=(3*0-4*2)/2=-4

三類解

一般地，使二元一次方程組的兩個方程左、右兩邊的值都相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程組的解。求方程組的解的過程，叫做解方程組。一般來說，一個二元一次方程有無數個解，而二元一次方程組的解有以下三種情況：

唯一解

如方程組x+y=5①

6x+13y=89②

x=-24/7

y=59/7 為方程組的解

有無數組解

如方程組x+y=6①

2x+2y=12②

因為這兩個方程實際上是一個方程（亦稱作“方程有兩個相等的實數根”），所以此類方程組有無數組解。

又如：x+(y-x)=y①

y+(x-y)=x②

無解

如方程組x+y=4①

2x+2y=10②，

因為方程②化簡後為

x+y=5

這與方程①相矛盾，所以此類方程組無解。

可以通過係數之比來判斷二元一次方程組的解的情況，如下列關於x,y的二元一次方程組：

ax+by=c

dx+ey=f

當a/d≠b/e 時，該方程組有一組解。

當a/d=b/e=c/f 時，該方程組有無數組解。

當a/d=b/e≠c/f 時，該方程組無解。

區別

與一元二次方程的區別

1．定義及一般形式：

2．解法：⑴直接開平方法（注意特徵）

⑵配方法（注意步驟—推倒求根公式）

⑶公式法：

⑷因式分解法（特徵：左邊=0）

3．根的判別式：

4．根與係數頂的關係：

逆定理：若 ，則以 為根的一元二次方程是： 。

5．常用等式：

⑵基本思想：

⑶基本解法：

①乘方法（注意技巧！！）

②換元法（例， ）

X-Y=Y-1

例題

1.某水庫計畫向甲.乙兩地送水，甲地需水180萬立方米，乙地需水120萬立方米，現已經送了兩次，第一次往甲地送水3天，乙地送水2天，共送水84萬立方米；第二次往甲地送水2天，乙地送水3天，共送水81萬立方米。若按這樣的進度送水，問：完成往甲.乙兩地送水任務還各需多少天？
設：住甲,乙送水的速度分別為X和Y
3X+2Y=84
2X+3Y=81 解得X=18 Y=15
甲地還要180/18-5=5天 乙地還要120/15-5=3天

2.一學生問老師：“您今年多大年齡？”老師風趣地說：“我像你這么大的時候，你才出生，你到我這么大的時候，我已經37歲了。”請問這位老師和學生的年齡各多少歲？

設：老師和學生的年齡各X,Y歲

X+X-Y=37 解得X=25 Y=13

其它

注意

二元一次方程組不一定都是由兩個二元一次方程合在一起組成的！不止限制於一種。

也可以由一個或多個二元一次方程單獨組成。

重點：一元一次、一元二次方程，二元一次方程組的解法；方程的有關套用題（特別是行程、工程問題）

依據—等式性質

1．a=b←→a+c=b+c

2．a=b←→ac=bc (c>0)

列方程（組）解套用題

一概述

列方程（組）解套用題是中學數學聯繫實際的一個重要方面。其具體步驟是：

⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什麼，未知量是什麼，問題給出和涉及的相等關係是什麼。

⑵設元（未知數）。①直接未知數②間接未知數（往往二者兼用）。一般來說，未知數越多，方程越易列，但越難解。

⑶用含未知數的代數式表示相關的量。

⑷尋找相等關係（有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關係給出），列方程。一般地，未知數個數與方程個數是相同的。

⑸解方程及檢驗。

⑹答案。

綜上所述，列方程（組）解套用題實質是先把實際問題轉化為數學問題（設元、列方程），在由數學問題的解決而導致實際問題的解決（列方程、寫出答案）。在這個過程中，列方程起著承前啟後的作用。因此，列方程是解套用題的關鍵。

二常用的相等關係

1． 行程問題（勻速運動）

基本關係：s=vt

⑴相遇問題（同時出發）；

⑵追及問題（同時出發）；

若甲出發t小時後，乙才出發，而後在B處追上甲，則

⑶水中航行；

2． 配料問題：溶質=溶液×濃度

溶液=溶質+溶劑

3．增長率問題

增長率=增長後的值/增長前的值

4．工程問題

基本關係：工作量=工作效率×工作時間（常把工作量看成單位“1”）。

5．幾何問題

常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關比例性質等。

三注意語言與解析式的互化：

如，“多”、“少”、“增加了”、“增加為（到）”、“同時”、“擴大為（到）”、“擴大了”、……

又如，一個三位數，百位數字為a，十位數字為b，個位數字為c，則這個三位數為：100a+10b+c，而不是abc。

四注意從語言敘述中寫出相等關係：

如，x比y大3，則x-y=3或x=y+3或x-3=y。又如，x與y的差為3，則x-y=3。五注意單位換算

如，“小時”“分鐘”的換算；s、v、t單位的一致等。

利用程式求解

二元一次方程組可以用順序消元法用電腦程式求解，以下是用C++編寫的例子：

#include <iostream>using namespace std;class EYYCFCZ{public: void get(double a00, double a01, double a10, double a11, double b0, double b1); double returny(); double returnx() {  x = (b[0] - a[0][1] * y) / a[0][0];  return x; }private: double a[2][2]; double b[2]; double x,y;};double EYYCFCZ::returny(){ double m = a[1][0] / a[0][0]; double a_11 = a[1][1] - m*a[0][1]; double b_1 = b[1] - m*b[0]; y = b_1 / a_11; return y;}void main(){ double a00, a01, a10, a11, b0, b1; cout << "請將方程化為ax+by=c的形式（a，b，c均為一個實數）。" << endl; cout << "請輸入1式中x的係數："; cin >> a00; cout << "請輸入1式中y的係數："; cin >> a01; cout << "請輸入1式中等號右邊的數："; cin >> b0; cout << "請輸入2式中x的係數："; cin >> a10; cout << "請輸入2式中y的係數："; cin >> a11; cout << "請輸入2式中等號右邊的數："; cin >> b1; EYYCFCZ fc; fc.get(a00, a01, a10, a11, b0, b1); double y = fc.returny(); double x = fc.returnx(); cout << "\n\n\n\n解得：" << endl; cout << "x=" << x << endl; cout << "y=" << y << endl; system("pause"); return;}void EYYCFCZ::get(double a00, double a01, double a10, double a11, double b0, double b1){ {  a[0][0] = a00;  a[0][1] = a01;  a[1][0] = a10;  a[1][1] = a11;  b[0] = b0;  b[1] = b1; }}