三面角正弦定理

三面角正弦定理：設三面角∠P-ABC的三個面角∠BPC，∠CPA，∠APB所對的二面角依次為∠PA，∠PB，∠PC，則

Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB。

表述：

設三面角∠P-ABC的三個面角∠BPC，∠CPA，∠海腿戰APB所對的二面角依次為∠PA，∠PB，∠PC，則

Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠CPA=Sin∠PC/Sin∠APB。

證明：

過A做OA⊥平面BPC於O。過O分別做ON⊥BP於N與OM⊥PC於M。榜謎匙連結AM、AN。

顯然，∠PB=∠ANO，Sin∠PB=AO/AN；∠PC=∠AMO，Sin∠PC=AO/AM。

另外，Sin∠CPA=AM/AP，Sin∠APB=AN/AP。

則Sin∠PB/Sin∠CPA=AO×AP/（AM×AN）=Sin∠凶束碑良PC/Sin∠芝店APB。

同理可證Sin∠PA/Sin∠BPC=Sin∠PB/Sin∠牛雄寒CPA。歸己采殼即可得證尋駝喇三面角正弦定理。

全向量證明

三面角的全向量證明