三維擴散方程的保極值原理格式研究

《三維擴散方程的保極值原理格式研究》是依託山東大學，由來翔擔任項目負責人的聯合基金項目。

基本介紹

• 中文名：三維擴散方程的保極值原理格式研究
• 項目類別：聯合基金項目
• 項目負責人：來翔
• 依託單位：山東大學

中文摘要

極值原理是擴散方程的一個重要性質，不滿足極值原理的格式可能導致數值解出現非物理的振盪。並且實際套用所考慮的物理系統大都是三維的，因此，研究三維擴散方程滿足離散極值原理的格式具有重要的意義。然而現有的研究主要集中在二維，如何構造三維擴散方程滿足極值原理的格式是一個尚未解決的難題。. 本項目的主要研究內容：根據實際套用領域中的需求，構造三維擴散方程的保極值原理有限體積格式，希望所得的格式是單元中心型的、守恆的並且滿足離散極值原理。 並研究其穩定性、收斂性、守恆性等基本性質，儘可能保證其在大變形格線上的計算精度，並提高其計算效率。在格式設計中，將考慮三維擴散問題的特點，給出法向通量的離散表達式以及消去輔助未知量的方法。

結題摘要

本項目獲得資助以來，我們按照研究計畫逐步開展研究工作。首先,借鑑已有的九點格式、支撐運算元格式、多點通量逼近格式的設計思想，針對三維擴散方程，構造出了大變形格線上有限體積格式，並給出穩定性和收斂性證明. 其次，結合非線性單調有限體積格式的設計思想，進行適當的改進與發展，合理地給出法向通量的離散表達式，從而構造了單調有限體積格式，保證了溫度不出現負值和非物理振盪。更進一步，對單調格式重新進行改進，得到了保極值原理的有限體積格式。格式同時具有以下性質：保正或保極值原理；具有局部守恆性；只有格線中心未知量；適用於無結構各向異性格線；適用於非均勻全擴散張量；所得到的稀疏代數方程組有儘可能少的非零元，對光滑解有高於一階的精度。 同時拓展了本項目的研究內容。三維擴散方程的保極值原理有限體積格式研究是近年來一個比較新的研究課題，已有的研究成果較少，因此在研究過程中還解決了出現的新問題。本項目拓展的研究內容包括：（1）構造了三維對流擴散方程單調有限體積格式（2）嘗試構造了加速疊代方法，使程式運行時間大大縮短。（3）給出了二維擴散方程在非匹配扭曲格線上的節點型單調有限體積格式。發表論文7篇，圓滿完成了各項研究計畫。