《一類Hessian方程解的凸性研究》是依託哈爾濱師範大學，由侍述軍擔任項目負責人的數學天元基金項目。
基本介紹
- 中文名：一類Hessian方程解的凸性研究
- 項目類別：數學天元基金項目
- 項目負責人：侍述軍
- 依託單位：哈爾濱師範大學
項目摘要,結題摘要,
項目摘要
解的幾何性質是偏微分方程理論中的基本問題，而凸性作為一個重要的幾何特徵，長期以來一直是偏微分方程研究中的重要主題。本項目的主要研究對象是Hessian方程解的凸性。利用經典的極大值原理給出水平集的凸性刻畫，曲率估計，解本身的凸性估計，對於不同Hessian方程尋找其特定的曲率或凸性估計函式，建立其滿足的微分不等式， 描述給定輔助函式的最大值或最小值在邊界達到。通過邊界給定的已知條件和獲得的輔助函式的結果，得到所研究偏微分方程的解的具體的幾何信息,特別是其凸性信息。
結題摘要
本項目研究了有界凸區域上橢圓偏微分方程解的凸性，特別是Hessian 方程。 首先得到與拉普拉斯運算元有關的一類半線性橢圓方程解的凸性估計，找到合適的輔助函式，建立微分不等式，利用極值原理和形變方法給出解的冪凹性的新證明，該結果發表於2014年SCI雜誌Journal of Mathematical Analysis and Applications 的414卷上。在本項目執行期間, 雖然對流形上的格林函式凸性的研究未取得實質進展, 但是對歐氏空間的情形，加強了格林函式的奇性部分估計和高維時的凸性估計，最終結果已線上發表在SCI雜誌Calculus of Variations and Partial Differential Equations 上。 在對 \sigma_2 方程的研究中，由於計算過於複雜，未能按預定想法找到合適的條件，以便建立解的凸性估計，但在以後的研究中希望能夠利用已有的計算經驗，找到合適條件而建立相應結果。此外，在本項目研究中對歐氏空間中的Monge-Ampere方程先期得到的結果進一步完善，更好的得到解的水平集高斯曲率和平均曲率的上界估計，結果最終發表於2014年國內SCI雜誌Chinese Annals of Mathematics B 的第35卷第6期上。對這一結果在常曲率黎曼流形，即空間形式上的推廣也已得到初步結果。
