一階差分

一階差分就是離散函式中連續相鄰兩項之差。當自變數從x變到x+1時，函式y=y(x)的改變數∆y_x=y(x+1)-y(x)，(x=0，1，2，......)稱為函式 y(x)在點x的一階差分，記為∆y_x=y_x+1-y_x，(x=0，1，2，......)。

基本介紹

• 中文名：一階差分
• 外文名：feasible region
• 所屬學科：離散數學
• 相關概念：差分、差分方程

基本概念

定義

設函式 ，式中 只對 在非負整數值上有定義，在自變數x依次取遍非負整數，即 時，相應的函式值為

簡記為

定義1 當自變數從 變到 時，函式 的改變數

稱為函式 在點 的一階差分，通常記作

例題解析

例1 設 ，求 。

解: 。

例2 設 (其中 且 )，求 。

解: 。

可見，指數函式的差分等於指數函式乘上一個常數。

例3 設 ，求 。

解: 。

高階差分

下面給出高階差分的定義。

定義2 當自變數從 變到 時，一階差分的差分

稱為函式 的二階差分，記作 ，即

同樣，二階差分的差分稱為三階差分，記為 ，即

依此類推，可得函式的n階差分為

差分的性質及定理

（1）(C為常數)；

（2）；

（3）；

（4）若為最高次項係數為的n次多項式，則；

（5）若為n次多項式，則；

（6）若，則是x的一個次數小於等於r的代數多項式。

差分方程

定義3 凡含有自變數x，未知函式 及未知函式的差分 的函式方程稱為差分方程，如方程

是差分方程．方程中差分的最高階數(即△上方最大的數字)稱為差分方程的階，幾階就稱為幾階差分方程，n階稱為n階差分方程。

由於n階差分總可表示成n+1個點上函式值的線性組合．因而差分方程又可定義如下。

定義4 凡是含有自變數x以及兩個或兩個以上的未知函式值的函式方程

稱為差分方程。方程中未知函式下標的最大值與最小值的差稱為差分方程的階。

定義5 (1) 如果將已知函式 代人差分方程，能使其對 成為恆等式，則稱函式 為該差分方程的一個解；

(2) 對於n階差分方程，含有n個獨立的任意常數的解稱為該差分方程的通解；(3)差分方程的不包含任意常數的解稱為該方程的特解。

在通解中給定一組任意常數所確定的解，就是該n階差分方程的特解，常由初始條件求出一組任意常數的值，確定特解。