一般項級數

數項級數的收斂性問題是數學分析中研究的基本內容之一。數項級數主要分為正項級數和一般項級數，一般項級數的收斂性判別問題要比正項級數複雜。在此，我們只討論某些特殊類型的級數的收斂性問題，比如交錯級數，絕對收斂級數，條件收斂級數。

基本介紹

• 中文名：一般項級數
• 外文名：general term series
• 學科：數學
• 領域範圍：數學分析
• 屬性：數項級數

交錯級數

若級數的各項符號正負相間，即

則稱（1）為交錯級數。

對於交錯級數，有下面常用的判別法。

定理1（萊布尼茨判別法）

若交錯級數（1）滿足下述兩個條件：

（i）數列 單調遞減；

（ii）

則級數（1）收斂。

推論1

若級數（1）滿足萊布尼茨判別法的條件，則收斂級數（1）的餘項估計式為

對於下列交錯級數套用萊布尼茨判別法檢驗，容易檢驗它們都是收斂的。

絕對收斂級數及其性質

若級數

各項絕對值所組成的級數

收斂，則稱原級數（2）為絕對收斂級數。

定理2

絕對收斂級數一定收斂。

例1

級數

的各項絕對值所組成的級數是

套用比式判別法，對於任何實數都有

因此，所考察的級數對任何實數都絕對收斂。

若級數（5）收斂，但級數（6）不收斂，則稱級數（5）為條件收斂級數。

例如級數（2）是條件收斂，而級數（3）、（4）則是絕對收斂。

全體收斂的級數可分為絕對收斂級數與條件收斂級數兩大類。

阿貝爾判別法和狄利克雷判別法

下面討論級數

收斂性的判別法。

定理3（阿貝爾判別法）

若為單調有界數列，且級數收斂，則級數（7）收斂。

定理4（狄利克雷判別法）

若數列單調遞減，且，又級數的部分和數列有界，則級數（7）收斂。