一般平均

一般平均亦稱總平均（Grang Mean ），是方差分析中回響變數觀測值的數學期望，等於各工程平均的簡單或加權算術平均值，其無偏估計量是全部觀測值的總平均值。

基本介紹

• 中文名：一般平均
• 外文名：Grang Mean 
• 所屬學科：數學
• 所屬問題：統計學（方差分析）
• 別稱：總平均
• 相關概念：方差分析，組（工程）平均等

基本介紹

一般平均指不考慮分組，分組數據集中後所有取值的平均值，是方差分析中回響變數觀測值的數學期望，等於各工程平均（即“組平均”，見下文）的簡單或加權算術平均值，其無偏估計量是全部觀測值的總平均值。參見“單向方差分析”、“雙向方差分析”。

具體說明

下面在“單向方差分析”說明總平均（即“一般平均”）。

單向方差分析亦稱單因子方差分析、一種方式分組的方差分析。單因子析因試驗數據的統計分析。單向方差分析的基本問題估計和比較多個等方差正態總體的均值。設有m個等方差正態總體Y_i～N (μ_i，σ²)，或Y_i=μ_i+e_i=μ+a_i+e_i(i=1，…，m)，其中e₁，…，e_m獨立同常態分配N(0，σ²)， ，a_i=μ_i-μ且滿足約束 。對於單因子試驗，Y_i是在因子A取水平A_i時的試驗結果，μ_i是其平均水平，a_i稱做水平A_i的效應。設在水平A_i下作n_i次獨立重複試驗，得 ：

( 獨立同常態分配N(0，σ²)

單向方差分析模型

此即單向方差分析模型。統計推斷問題：1. 估計總平均μ和各因子效應a_i(i=1，…，m)；2.檢驗假設H₀：μ₁=…=μ_m或H₀：a₁=…=a_m=0，即各因子水平的效應均不顯著；3. 若H₀被否定，則利用多重比較法找出效應顯著的水平。

1.樣本均值

相應為μ和μ_i的無偏估計， 為a_i的無偏估計， 其中 。

2. 假設H₀的檢驗基於離差平方和的分解

其中

（總平方和）

（組間平方和）

（組內平方和）

檢驗使用統計量

F=組間方差/組內方差=

當F≥F_α(f₁，f₂)時認為μ₁，…，μ_m間差異顯著，即因子A的效應顯著，其中F_α(f₁，f₂)是自由度為f₁=m-1和f₂=N-m的F分布水平α上側分位數。

3. 未知方差σ²的無偏估計為

工程平均

工程平均亦稱組平均。方差分析中相對於—定處理或在某種水平下回響變數觀測值的數學期望，它與總平均值之差稱做該種處理或該因子水平的效應。工程平均的無偏估計量，是給定處理或水平下全部數據的算術平均值。參見“單向方差分析”、“雙向方差分析”。