《sofic群作用的不變數》是依託重慶大學，由李寒峰擔任項目負責人的面上項目。
基本介紹
- 中文名：sofic群作用的不變數
- 項目類別：面上項目
- 項目負責人：李寒峰
- 依託單位：重慶大學
中文摘要,結題摘要,
中文摘要
本項目將主要致力於建立拓撲動力系統和遍歷論、運算元代數和L2-不變數理論、表示論這三個領域中sofic群作用的不變數之間的對應關係。具體而言：（1）我們將對sofic群的群環的模引入均值秩，研究其基本性質，進而以其為工具建立sofic群情形下拓撲動力系統中的均值維數與L2-不變數理論中von Neumann-Luck秩之間的對應關係。（2）我們將對sofic群的作用引入條件熵和相對熵，發展其基本理論；同時我們研究遍歷論中sofic群作用下f-invariant的推廣，並研究其與L2-不變數理論中L2-撓之間的對應關係。.這些問題的研究將建立這三個領域之間新的聯繫，從而加深人們對這三個領域的理解。
結題摘要
熵和均值維數在拓撲動力系統和遍歷論中起著重要作用，不僅因為它們是有用的不變數，也因為它們與別的領域如群論和L2-不變數理論有著豐富的聯繫。本項目主要研究內容集中在sofic群作用的相對熵和條件熵，均值維數與von Neumann-Lück秩的關係，伊甸園定理，和組合獨立性。其主要研究結果包括：（1）證明了sofic群的代數作用的均值維數這一動力系統不變數對應著von Neumann-Lück秩這一L2-不變數；（2）對順從群的具有弱碎軌性質的可擴代數作用建立了伊甸園定理；（3）對可數交換群的由群環中的弱可擴元素定義的連通空間上的主代數作用建立了伊甸園定理；（4）證明了任一有限生成的非交換的自由群都有一個極小的作用是某個effective強proximal作用的有相對不變測度的非開的擴充，這回答了Glasner的一個問題；（5） 證明了任一可數群的任一distal作用的naive熵都為零，這回答了Bowen的一個問題；（6）將任一有單位元的環R上的任一Sylvester秩函式擴展到了所有由一個左R模包含於另一左R模所組成的模對，也擴展到了所有左R模之間的模同態，同時滿足包括連續性和可加性在內的一些好性質。本項目的研究結果對進一步理解可數群的作用及這些作用與L2-不變數之間的聯繫有重要意義。
