群在運算元代數上作用的熵理論

《群在運算元代數上作用的熵理論》是依託揚州大學，由侯成軍擔任項目負責人的面上項目。

基本介紹

• 中文名：群在運算元代數上作用的熵理論
• 項目類別：面上項目
• 項目負責人：侯成軍
• 依託單位：揚州大學

項目摘要

經典遍歷理論中的群作用可以為運算元代數上的群自同構作用提供一個交換模型，所以人們也總期望可以將遍歷理論中有關群作用的研究成果非交換化並套用於運算元代數群作用的研究。本項目將綜合運用遍歷理論中sofic熵的最新研究成果，藉助於運算元代數中的完全正線性映射和有限交換模型的逼近理論，引入順從群和更一般的sofic 群在運算元代數上自同構作用的測度熵和拓撲熵，建立順從群作用的變分原理並利用von Neumann 代數中的Fuledge-Kadison 行列式理論研究sofic 群的一致代數作用的熵。同經典sofic熵的研究相比，本項目的研究方法和研究工具都將體現運算元代數理論中的非交換思想。非交換熵理論的引入將為進一步研究運算元代數及其群作用的共軛同構分類奠定基礎。

結題摘要

本項目按照計畫開展工作，研究了可數群在拓撲和機率測度空間以及在運算元代數上的作用，在順從群作用的熵理論、粗Baum-Connes猜測和運算元代數的結構、分類和上同群理論等方面取得了一系列成果。藉助於群作用度量空間上的粗嵌入理論，本項目證明了可等變嵌入到Hilbert空間內的離散度量空間上的等變粗Baum-Connes猜測，此為該猜測的最新研究成果。探究了整數加群在零維雙曲動力系統上的一類運算元代數上作用的拓撲熵和逼近熵，得到了此類運算元代數系統關於這兩類熵的非交換化的“變分原理”。引入了速降廣群理論，研究了廣群C*-代數的光滑結構，並在相應光滑子代數上構造了一個起著n-跡作用的典則映射，從而Connes的基本配對定理為該類運算元代數提供了一個K-同調不變數；針對SFT和Solenoids兩類不同的動力系統，找出了具體的光滑子代數。藉助於隸屬有限von Neumann代數的無界運算元理論，揭示了雙三角格代數的結構和KS-性質，計算了此自反代數的一階上同調群，該問題的探究方法為非自伴運算元代數的研究提供了新思路。在運算元代數分類問題方面，本項目得到了AF-代數在穩定Cuntz代數下的酉擴張同構類的一個完全刻畫，給出了弱酉等價的酉擴張的基點六項正合列契約的一個充要條件。對於可數群的射影酉表示，本項目研究了相應von Neumann代數的結構和對偶理論，證明了當射影酉表示的Bessel向量集稠於表示空間時，由解析運算元和Bessel向量集定義的循環投影在射影酉表示和左正則表示von Neumann代數中的等價和子等價關係是一致的。在群作用度量空間上引入了群不變逼近性質，此可以看作是群的平移不變逼近性質的推廣，證明了fine雙曲圖具有此逼近性質。與此同時，本項目還在運算元代數的雙重導子和Haagerup性質等方面取得了一些成果，如給出了可數群作用下的C*-代數交叉積具有Haagerup性質的充要條件。