lim

lim

數學術語,表示極限(limit)。

極限是微積分中的基礎概念,它指的是變數在一定的變化過程中,從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值(極限值)。

基本介紹

  • 中文名:極限
  • 外文名:limit
  • 提出者:阿斯加德
  • 套用學科:數學,物理
來源,數列極限,性質,單調收斂定理,函式極限,

來源

“極限”一詞源於拉丁文“limitem”,縮寫為“lim”。1786年瑞士數學家魯易理(Lhuillier)首次引入,後人不斷完善,發展了長達132年之久,由英國數學家哈代(Haddy)的完善極限符號才成為今天通用的符號。
極限是微積分中的基礎概念,它指的是變數在一定的變化過程中,從總的來說逐漸穩定的這樣一種變化趨勢以及所趨向的值(極限值)。
高等數學中,極限是一個重要的概念。
極限可分為數列極限函式極限,分別定義如下。

數列極限

設 {Xn} 為實數列,a 為定數.若對任給的正數 ε,總存在正整數N,使得當 n>N 時有∣Xn-a∣<ε 則稱數列{Xn} 收斂於a,定數 a 稱為數列 {Xn} 的極限,並記作,或Xn→a(n→∞)
數列極限表達式數列極限表達式
讀作“當 n 趨於無窮大時,{Xn} 的極限等於 或 趨於 a”.
若數列 {Xn} 沒有極限,則稱 {Xn} 不收斂,或稱 {Xn} 為發散數列
該定義常稱為數列極限的 ε—N定義
對於收斂數列有以下兩個基本性質,即收斂數列的唯一性和有界性。
定理1:如果數列{Xn}收斂,則其極限是唯一的。
定理2:如果數列{Xn}收斂,則其一定是有界的。即對於一切n(n=1,2……),總可以找到一個正數M,使|Xn|≤M。
對定義的理解:
1、ε的任意性 定義中ε的作用在於衡量數列通項
與常數a的接近程度。ε越小,表示接近得越近;而正數ε可以任意地變小,說明xn與常數a可以接近到任何不斷地靠近的程度。但是,儘管ε有其任意性,但一經給出,就被暫時地確定下來,以便靠它用函式規律來求出N;
又因為ε是任意小的正數,所以ε/2 、3ε 、ε等也都在任意小的正數範圍,因此可用它們的數值近似代替ε。同時,正由於ε是任意小的正數,我們可以限定ε小於一個某一個確定的正數。
2、N的相應性 一般來說,N隨ε的變小而變大,因此常把N寫作N(ε),以強調N對ε的變化而變化的依賴性。但這並不意味著N是由ε唯一確定的:(比如若n>N使成立,那么顯然n>N+1、n>2N等也使成立)。重要的是N的存在性,而不在於其值的大小。
3、從幾何意義上看,“當n>N時,均有不等式成立”意味著:所有下標大於N的都落在(a-ε,a+ε)內;而在(a-ε,a+ε)之外,數列{xn} 中的項至多只有N個(有限個)。換句話說,如果存在某ε0>0,使數列{xn} 中有無窮多個項落在(a-ε0,a+ε0) 之外,則{xn} 一定不以a為極限。

性質

1、唯一性:若數列的極限存在,則極限值是唯一的,且它的任何子列的極限與原數列的相等。
2、有界性:如果一個數列’收斂‘(有極限),那么這個數列一定有界。
但是,如果一個數列有界,這個數列未必收斂。例如數列 :“1,-1,1,-1,……,(-1)n+1”
3、與子列的關係:數列{xn} 與它的任一平凡子列同為收斂或發散,且在收斂時有相同的極限;數列
收斂的充要條件是:數列{xn} 的任何非平凡子列都收斂。

單調收斂定理

單調有界數列必收斂

函式極限

設函式
在點
的某一去心鄰域內有定義,如果存在常數A,對於任意給定的正數
(無論它多么小),總存在正數
,使得當x滿足不等式
時,對應的函式值
都滿足不等式:
|f(x)-A|<ε,
則稱函式f當x趨於+∞時以A為極限,記作
lim f(x) = A 或 f(x)->A(x->+∞)

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